Аналитична геометрия

[Гост]

Дадени са точките A(-3; 8) и B(2; 2). Намерете точка М от абсцисната ос такава, че дължината на начупената линия AM + MB да е най-малка. Има упътване под задачата: AM + MB = AM + MB1, където B1 е симетрична точка на B относно абсцисната ос. Моля за помощ!

[peyo]

Дадени са точките A(-3; 8) и B(2; 2). Намерете точка М от абсцисната ос такава, че дължината на начупената линия AM + MB да е най-малка. Има упътване под задачата: AM + MB = AM + MB1, където B1 е симетрична точка на B относно абсцисната ос. Моля за помощ!

Трябва ни чертеж!

geogebra-export(33).png (652.8 KiB) Прегледано 385 пъти

Изглежда имаме минимум когато кривата $А М B_1$ e права линия и тогава М е на координати (1,0).

[ammornil]

[tex]A(-3;8), B(2,2), M(x_{M};0)[/tex]
Не знам как peyo е стигнал до заключението, но отговорът му е верен.
[tex]f(x)=AM+MB=\sqrt{(x_{M}-x_{A})^{2}+(y_{M}-y_{A})^{2}}+\sqrt{(x_{M}-x_{B})^{2}+(y_{M}-y_{B})^{2}}[/tex]
За краткост, ще пишем само [tex]x[/tex] с разбирането че става въпрос за [tex]x_{M}[/tex]
[tex]f(x)=\sqrt{(x-(-3))^{2}+(0-8)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(0-2)^{2}} \Leftrightarrow f(x)=\sqrt{(x+3)^{2}+64}+\sqrt{(x-2)^{2}+4} \Leftrightarrow f(x)=\sqrt{x^{2}+6x+73}+\sqrt{x^{2}-4x+8}[/tex]

Screenshot 2023-01-28 152829.png (9.7 KiB) Прегледано 385 пъти

Screenshot 2023-01-28 152845.png (6.31 KiB) Прегледано 385 пъти

Скрит текст: покажи

[tex]f'(x)=\frac{2x+6}{2\sqrt{x^{2}+6x+73}}+\frac{2x-4}{2\sqrt{x^{2}-4x+8}}=0 \Rightarrow \frac{\cancel{2}(x+3)}{\cancel{2}\sqrt{x^{2}+6x+73}}=-\frac{\cancel{2}(x-2)}{\cancel{2}\sqrt{x^{2}-4x+8}} |()^{2} \Leftrightarrow (x+3)^{2}(x^{2}-4x+8)=(x-2)^{2}(x^{2}+6x+73) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (x^{2}+6x+9)(x^{2}-4x+8)=(x^{2}-4x+4)(x^{2}+6x+73) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \cancel{x^{4}}\cancel{-4x^{3}}+8x^{2}\cancel{+6x^{3}}\cancel{-24x^{2}}+48x+9x^{2}-36x+72=\cancel{x^{4}}\cancel{+6x^{3}}+73x^{2}\cancel{-4x^{3}}\cancel{-24x^{2}}-292x+4x^{2}+24x+292 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 60x^{2}-280x+220=0 \Leftrightarrow 15x^{2}-70x+55=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{35 \mp 20}{15} \begin{cases} x_{1}=1 \\ x_{2}=\frac{11}{3} \end{cases}[/tex]

Проверката показва, че само 1 е корен.

[peyo]

Не знам как peyo е стигнал до заключението, но отговорът му е верен.

Ще се опитам да го докажа. Нека си представим, че оста X е огледало и ние се намираме в точката А и гледаме към точката B в огледалото. Тогава всъщност виждаме точката $B_1$. И тук ще предположим, че светлината от B до А пътува по най-краткия път (това почти винаги вярно, но не знам как може да се докаже. Може би защото фотоните винаги пътуват по права линия, освен в много силно гравитационно поле.)! Тогава линията от $В_1$ то А е права линия и пресича X в 1.

[ammornil]

Ще се опитам да го докажа. Нека си представим, че оста X е огледало и ние се намираме в точката А и гледаме към точката B в огледалото. Тогава всъщност виждаме точката $B_1$. И тук ще предположим, че светлината от B до А пътува по най-краткия път (това почти винаги вярно, но не знам как може да се докаже. Може би защото фотоните винаги пътуват по права линия, освен в много силно гравитационно поле.)! Тогава линията от $В_1$ то А е права линия и пресича X в 1.

Аналогията с отражение има смисъл,ъгълът на падане и отразяване трябва да бъде равен спрямо перпендикуляра в точката на отражение. Тоест [tex]M[/tex] е пресечната точка на прави през [tex]А[/tex] и [tex]B[/tex], които сключват равни ъгли с положителната посока на ординатната ос. Но не знам как аналитичната геометрия може да го докаже.

[pal702004]

От правилото на триъгълника. Ако $AMB_1$ е триъгълник, то $AM+MB_1>AB_1$