Елипса, хипербола ,окръжност

[Гост]

20230131_005051.png (797.91 KiB) Прегледано 378 пъти

[peyo]

Прикачения файл 20230131_005051.png вече е недостъпен

Ок, да решим системата!

In [2]: from sympy import *
In [3]: var("x,y")
Out[3]: (x, y)
In [5]: solve([x**2/36 + y**2/18 - 1, x**2/2 - y**2/16 - 1])
Out[5]: [{x: -2, y: -4}, {x: -2, y: 4}, {x: 2, y: -4}, {x: 2, y: 4}]

Имаме 4 решения, но и 4-те са на ъглите на правоъгълник, значи можем да направим окръжност!

https://www.wolframalpha.com/input?i=circle+through+three+points&assumption=%7B%22F%22%2C+%22CircleCalculator%22%2C+%22point%22%7D+-%3E%22%7B-2%2C+-4%7D%22&assumption=%7B%22F%22%2C+%22CircleCalculator%22%2C+%22point2%22%7D+-%3E%22%7B-2%2C+4%7D%22&assumption=%7B%22F%22%2C+%22CircleCalculator%22%2C+%22point3%22%7D+-%3E%22%7B2%2C+-4%7D%22

Screenshot 2023-01-31 at 09-01-23 circle through three points - Wolfram Alpha.png (90.04 KiB) Прегледано 368 пъти

(Условието е много артистично изрязано! )

[KOPMOPAH]

Ако решим да подходим традиционно, трябва да съставим система от две уравнения с две неизвестни. Решенията ѝ са координатите на пресечените точки на елипсата и хиперболата.

Системата е

$~~~~~~~~~~\begin{array}{|l}\displaystyle \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{18} = 1 \\ \displaystyle \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{16} = 1 \end{array}$

След полагане $x^2=p$, $y^2=q$ и преработка се стига до

$~~~~~~~~~~\begin{array}{|l}\displaystyle p+2q = 36 \\ \displaystyle 8p-q = 16 \end{array}$

Решенията на последната система са $p=4$, $q=16$, а оттам - $x=\pm 2$ и $y=\pm 4$, т.е. точките на пресичане на елипсата и хиперболата имат координати $(-2;-4),~~(2;-4),~~(2;4), ~~(-2;4)$. Остава да се намери уравнението на окръжността



Може да се подходи и малко по-нестандартно

Уравнението на окръжността е $x^2+y^2=R^2$.

В системата

$~~~~~~~~~~\begin{array}{|l}\displaystyle x^2+2y^2 = 36 \\ \displaystyle 8x^2-y^2 = 16 \end{array}$

умножаваме първото уравнение с $a$, а второто - с $b$ и получаваме

$~~~~~~~~~~\begin{array}{|l}\displaystyle ax^2+2ay^2 = 36a \\ \displaystyle 8bx^2-by^2 = 16b \end{array}$

Събираме двете уравнения и получаваме

$~~~~~~~~~~(a+8b)x^2+(2a-b)y^2 = 36a+16b$

За да бъде това уравнение на окръжност, трябва коефициентите пред $x^2$ и $y^2$ да са равни, т.е. трябва да е изпълнено равенството

$~~~~~~~~~~a+8b=2a-b \Rightarrow a=9b$

Заместваме и получаваме

$~~~~~~~~~~(9b+8b)x^2+(18b-b)y^2 = 36.9b+16b \Rightarrow 17b.x^2+17b.y^2=340b \Rightarrow x^2+y^2=20$, уравнението се получи без да изчисляваме $x$, $y$, $a$ и $b$

[grav]

Решенията на последната система са $p=4$, $q=16$, а оттам - $x=\pm 2$ и $y=\pm 4$, т.е. точките на пресичане на елипсата и хиперболата имат координати $(-2;-4),~~(2;-4),~~(2;4), ~~(-2;4)$. Остава да се намери уравнението на окръжността



Може да се подходи и малко по-нестандартно

Уравнението на окръжността е $x^2+y^2=R^2$.

След като си съобразил, че центътът е в началото на системата, и минава през тези точки, например [tex](2,4)[/tex]. Радиуса на квадрат се намира лесно [tex]R^2=2^2+4^2=20[/tex]