Медицентър

[Гост]

Страните АВ и ВС на [tex]\triangle[/tex]АВС лежат на правите 7x + 4y - 1 = 0 и 5x + 2y - 5 = 0. Намерете координатите на върховете на триъгълника, ако G(1; -1) е неговият медицентър. Намерих точката В(3; -5), построих си средата на АС (т. [tex]В_{1 }[/tex](0; 1)).Също намерих уравнението на BG, но не знам как да продължа в решението. Моля за разяснение.

[peyo]

Страните АВ и ВС на [tex]\triangle[/tex]АВС лежат на правите 7x + 4y - 1 = 0 и 5x + 2y - 5 = 0. Намерете координатите на върховете на триъгълника, ако G(1; -1) е неговият медицентър. Намерих точката В(3; -5), построих си средата на АС (т. [tex]В_{1 }[/tex](0; 1)).Също намерих уравнението на BG, но не знам как да продължа в решението. Моля за разяснение.

Да намерим точка B:

In [240]: var("x,y")^M
...: solve([7*x + 4*y - 1, 5*x + 2*y - 5])
Out[240]: {x: 3, y: -5}

Медицентъра дели медианата 2:1, да намерим B', която се намира на 50% по далече от G. За тази цел ще скалираме вектора 1.5*[tex]\vec{AG}[/tex]

[tex]\vec{AG}[/tex] = В(3,-5) до G(1,-1) или [tex]\vec{AG}[/tex] =(-2,4) ако гледаме само относителните дължини, които сега ще скалираме:

[tex]\vec{AB'} = \vec{AG}[/tex] =*1.5 = (-2*1.5,4*1.5) =(-3.0, 6.0)

B' = (3 + -3.0, -5 + 6.0) = (0,1)

И сега търсим права Ax+By+C=0 която минава през B'(0,1) и има еднакво разстояние до двете други страни/прави.

A*1+B*0+C=0
Ax_1+By_1+C=0
7x_1 + 4y_1 - 1 = 0
Ax_2+By_2+C=0
5x_2 + 2y_2 - 5 = 0
(x_1-0)^2+(y_1-1)^2 = (x_2-0)^2+(2_1-1)^2

Имаме 6 уравнения със 7 неизвестни. Трябва ни едно още уравнение или една променлива по-малко. Уравнението на права може да има само два параметъра:

Ax+By+C=0 => (A/C)x+(B/C)y+1=0 => Ax+By+1=0

Значи може да искаме C да е равно на 1.


A*1+B*0+C=0
C=1
Ax_1+By_1+C=0
7x_1 + 4y_1 - 1 = 0
Ax_2+By_2+C=0
5x_2 + 2y_2 - 5 = 0
(x_1-0)^2+(y_1-1)^2 = (x_2-0)^2+(2_1-1)^2

Така е по-добре!:

var("A,B,C,x_1,x_2,y_1,y_2")
solve([A*1+B*0+C,
C-1,
A*x_1+B*y_1+C,
7*x_1 + 4*y_1 -1,
A*x_2+B*y_2+C,
5*x_2 + 2*y_2 - 5,
(x_1-0)**2+(y_1-1)**2 - (x_2-0)**2 -(2_1-1)**2])

Out[249]:
[{A: -1,
B: -2/5,
C: 1,
x_1: 3,
x_2: -sqrt(355)*I,
y_1: -5,
y_2: 5/2 + 5*sqrt(355)*I/2},
{A: -1,
B: -2/5,
C: 1,
x_1: 3,
x_2: sqrt(355)*I,
y_1: -5,
y_2: 5/2 - 5*sqrt(355)*I/2},
{A: -1,
B: -3718/6533 - 4*sqrt(6514)/6533,
C: 1,
x_1: -8*sqrt(6514)/65 - 21/65,
x_2: 1,
y_1: 53/65 + 14*sqrt(6514)/65,
y_2: 0},
{A: -1,
B: -3718/6533 + 4*sqrt(6514)/6533,
C: 1,
x_1: -21/65 + 8*sqrt(6514)/65,
x_2: 1,
y_1: -14*sqrt(6514)/65 + 53/65,
y_2: 0}]


Имаме две реални решения както и очаквахме, защото решението е симетрично.

In [255]: "A",(float(-8*sqrt(6514)/65 - 21/65),float((53/65 + 14*sqrt(6514)/65)))
Out[255]: ('A', (-10.256536011806066, 18.198938020660616))

In [256]: "C",(1,0)
Out[256]: ('C', (1, 0))

Да метода на голямата система е объркващ и не съм направил чертеж да проверя отговора визуално, но е най-мощния метод, защото не се интересува от това какво точно правим, а просто ни дава отговора по магически начин.

[Гост]

Драги, peyo, мислиш ли, че това решение е приемливо за където и да е?

[peyo]

Драги, peyo, мислиш ли, че това решение е приемливо за където и да е?

Свят голям хора много. Без да направим проучване няма как да знаем.

Но да направим проверка дали решението ни е правилно с Geogebra.
Оказа се, че не е правилно когато се опитах да го нарисувам. 2 Грешки в системата:
вместо "A*1+B*0+C", правилното е "A*0+B*1+C" в първото уравнение и вместо "-(2_1-1)**2" правилното е "-(y_2-1)**2" в последното. И така става:

var("A,B,C,x_1,x_2,y_1,y_2")
solve([A*0+B*1+C,
C-1,
A*x_1+B*y_1+C,
7*x_1 + 4*y_1 -1,
A*x_2+B*y_2+C,
5*x_2 + 2*y_2 - 5,
(x_1-0)**2+(y_1-1)**2 - (x_2-0)**2 -(y_2-1)**2])

И резултата сега е много по-добър:

Out[268]:
[{A: -2, B: -1, C: 1, x_1: 3, x_2: 3, y_1: -5, y_2: -5},
{A: -1, B: -1, C: 1, x_1: -1, x_2: 1, y_1: 2, y_2: 0},
{A: -I,
B: -1,
C: 1,
x_1: -21/65 - 12*I/65,
x_2: 15/29 + 6*I/29,
y_1: 53/65 + 21*I/65,
y_2: 35/29 - 15*I/29},
{A: I,
B: -1,
C: 1,
x_1: -21/65 + 12*I/65,
x_2: 15/29 - 6*I/29,
y_1: 53/65 - 21*I/65,
y_2: 35/29 + 15*I/29}]

Имаме 2 реални решения:

skdjfhgksdjfhgkdsj.png (157.04 KiB) Прегледано 402 пъти

Оказа се, че точката B е едно от решенията, което в ретроспект е очевидно.

И така остава само едно решение на задачата, което намерихме
x_1: -1, x_2: 1, y_1: 2, y_2: 0