Окръжност

[Гост]

Докажете, че уравнението [tex]x^{2 } + y^{2 } + Mx + Ny + P = 0[/tex] е уравнение на окръжност [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]M^{2 } + N^{2 } - 4P > 0[/tex]. Моля за помощ!

[peyo]

Докажете, че уравнението [tex]x^{2 } + y^{2 } + Mx + Ny + P = 0[/tex] е уравнение на окръжност [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]M^{2 } + N^{2 } - 4P > 0[/tex]. Моля за помощ!

[tex]x^{2 } + y^{2 } + Mx + Ny + P = 0[/tex]

[tex]x^{2 } + Mx + (М/2)^2 + y^{2 } + Ny +(N/2)^2 + P -(M/2)^2 -(N/2)^2 = 0[/tex]

[tex](x + М/2)^2 + (y +N/2)^2 = -( P -(M/2)^2 - (N/2)^2)[/tex]

[tex](x + М)^2 + (y +N)^2 = - P + (M/2)^2 + (N/2)^2[/tex]

Ako:
$R^2 = - P + (M/2)^2 + (N/2)^2$
Имаме окръжност:
[tex](x + М)^2 + (y +N)^2 = R^2[/tex]


Но трябва да съществува нешо положително за да е квадрат:
$- P + (M/2)^2 + (N/2)^2 >0$

$- P + M^2/4 + N^2/4 >0$

$ M^2 + N^2 - 4P >0$

Което трябваше да докажем.

[Гост]

Не разбирам само как от третия ред [tex](x + \frac{М}{2})^2[/tex] и [tex](y + \frac{N}{2})^2[/tex] стават [tex](x + M)^2[/tex] и [tex](y + N)^2.[/tex]

[peyo]

Не разбирам само как от третия ред [tex](x + \frac{М}{2})^2[/tex] и [tex](y + \frac{N}{2})^2[/tex] стават [tex](x + M)^2[/tex] и [tex](y + N)^2.[/tex]

Опс! Моя грешка. Центъра на окръжността трябва да е в $( - \frac{М}{2}, -\frac{N}{2})$