Трапец

[Гост]

20230209_211753.jpg (600.68 KiB) Прегледано 385 пъти

[ammornil]

230209_001.png (17.16 KiB) Прегледано 381 пъти

[tex]\begin{array}{|l} x +25+ y = 77 \\ (x+25)^{2}+h^{2}=40^{2} \\ (y+25)^{2}+h^{2}=74^{2} \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x + y = 52 \\ h^{2}=40^{2} -(x+25)^{2} \\ (y+25)^{2} -(x+25)^{2}=74^{2}-40^{2} \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} h^{2}=40^{2} -(x+25)^{2} \\ y = 52-x \\ (y+25+x+25)(y+25-x-25)= (74-40)(74+40) \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} h^{2}=40^{2} -(x+25)^{2} \\ y = 52-x \\ (52-x+25+x+25)(52-x-x)= 34\cdot 114 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} h^{2}=40^{2} -(x+25)^{2} \\ y = 52-x \\ 102(52-2x)= 34\cdot 114 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} h^{2}=40^{2} -(x+25)^{2} \\ y = 52-x \\ 2\cdot 3\cdot 17\cdot (52-2x)= 2\cdot 17\cdot 2\cdot 3\cdot 19 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} h^{2}=40^{2} -(x+25)^{2} \\ y = 52-x \\ 52-2x=38 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} h=\sqrt{40^{2} -(7+25)^{2}} \\ y = 45 \\ x=7 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} h=\sqrt{(40-32)(40+32)} \\ y = 45 \\ x=7 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} h=\sqrt{8\cdot 8\cdot 9} \\ y = 45 \\ x=7 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} h=24 \\ y = 45 \\ x=7 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]AD^{2}=x^{2}+h^{2}[/tex]
[tex]BC^{2}=y^{2}+h^{2}[/tex]

Оттук, предполагам, можете и сами...

[S.B.]

Без заглавие - 2023-02-10T160732.048.png (227.21 KiB) Прегледано 357 пъти

И още един поглед върху задачта:
[tex]CH \bot AB , H \in AB[/tex]
Подлагам диагонала $DB$ на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] при която [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow B_{1 } ,B B_{1 } = DC = 25[/tex]
За [tex]\triangle A B_{1 }C[/tex] със страни [tex]A C_{1 } = 102 , C B_{1 } = 74 , AC = 40[/tex] прилагам Херонова формула за лице:
[tex]p = 108, p - C B_{1 } = 34 , p - AC = 68 , p - A B_{1 } = 6[/tex]
[tex]S_{A B_{1 }C } = \sqrt{108.34.68.6} = \sqrt{ 36^{2 }. 34^{2 } } = 1224[/tex]
[tex]S_{A B_{1 }C } = \frac{A B_{1 }.CH }{2} \Leftrightarrow 1224 = \frac{CH.102}{2} \Rightarrow CH = 24[/tex]
Разглеждам правоъгълния [tex]\triangle AHC[/tex]:
[tex]\frac{CH}{AC } = \sin \varphi \Leftrightarrow \frac{24}{40} = \sin \varphi \Rightarrow \sin \varphi = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{4}{5}[/tex]
[tex]\frac{AH}{AC} = \cos \varphi \Leftrightarrow \frac{AH}{40} = \frac{4}{5} \Rightarrow AH = 32 \Rightarrow BH = 45[/tex]

За [tex]\triangle BHC[/tex] прилагам Питагорова теорема :
[tex]CB^{2 } = CH^{2 } + HB^{2 } \Leftrightarrow CB^{2 } = 24^{2 } + 45^{2 } \Leftrightarrow CB^{2 } = 576 + 2025 \Rightarrow CB^{2 } = 2601 = 51^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow BC = 51$$
[tex]\angle DCA = \angle ACD = \varphi[/tex]
За [tex]\triangle ACD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AD^{2 } = AC^{2 } + DC^{2 } - 2.AC.DC.\cos \varphi \Leftrightarrow AD^{2 } = 40^{2 } + 25^{2 } - 2.40.25. \frac{4}{5}[/tex]
[tex]AD^{2 } = 1600 + 625 - 1600 = 625[/tex]
$$ \Rightarrow AD = 25$$