намиране на координати на върхове по дадени уравнения на стр

[Jordanov76]

Трябва ми помощ с тази тема (намиране на координати на върхове по дадени уравнения на страните)
Трябва да мога да обясня как

[ammornil]

Трябва ми помощ с тази тема (намиране на координати на върхове по дадени уравнения на страните)
Трябва да мога да обясня как

Всеки връх е пресечна точка на две от правите. Следователно координатите на всеки връх едновременно удовлетворяват уравненията на двете прави, които се пресичат в този връх на триъгълника.

Ако са дадени уравненията на три прави, записваме тези уравнения във вида [tex]y=kx+m[/tex], и после за всеки две прави приравняваме десните страни на изразите им. Така намираме координатата [tex]x[/tex] на пресечната им точка. Заместваме така намереното [tex]x[/tex] в уравнението на една от правите и намираме [tex]y[/tex] за пресечната им точка.

Внимание! Ако в изразите на две прави, коефициентите [tex]k[/tex] са равни, то правите са успоредни помежду си и не съществува пресечна точка между тях.

Забележка: Вместо да изразяваме [tex]y[/tex] и да приравняваме десните страни на уравненията, можем да решим системите от всеки две уравнения [tex]\begin{array}{|l} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \end{array}[/tex]

[nikola.topalov]

…Ако са дадени уравненията на три прави, записваме тези уравнения във вида [tex]y=kx+m[/tex]…

Как ще запишете декартовото уравнение на правата [tex]x+2=0[/tex]?

[ammornil]

…Ако са дадени уравненията на три прави, записваме тези уравнения във вида [tex]y=kx+m[/tex]…

Как ще запишете декартовото уравнение на правата [tex]x+2=0[/tex]?

[tex]1\cdot{x}+0\cdot{y}+2=0[/tex]
[tex]x=-2 \hspace{1em} \forall y \in R[/tex]
В случая знаем [tex]x[/tex] на пресечната точка със коя да е права и замествайки в уравнението на втората права със стойността на [tex]x[/tex] намираме координатата [tex]y[/tex] на пресечната им точка.

Всички прави от вида [tex]x=const \hspace{1em} \forall y \in R[/tex] са успоредни помежду си и успоредни на ординатната ос (или в частен случай съвпадат).

[Jordanov76]

Можеш ли да ми покажеш как ще се получи това всичкото в задача но да се намери и медицентъра?

[ammornil]

Да се определят координатите на медицентъра на триъгълник определен от следните три прави: [tex]\begin{array}{l} p: \hspace{0.5em} y-x-1 =0 \\q: \hspace{0.5em} y-7x+17=0 \\ s: \hspace{0.5em} 2y+x+4=0 \end{array}[/tex]

Геометричното решение ще ни помага да знаем дали работим правилно:

Скрит текст: покажи

Screenshot 2023-04-19 092658.png (51.86 KiB) Прегледано 2250 пъти

За да намерим медицентъра е достатъчно да намерим пресечната точка на две от медианите на тръгълника. За целта трябва да намерим координатите на върховете на триъгълника, после да намерим средите на две от страните на триъгълника, после да определим правите които минават през среда на страна и срещулежащ връх (правите на медианите) и накрая да намерим пресечната точка на тези две прави. ( На кратко, много писане за нищо работа... )

Най-напред намираме върховете на триъгълника. Условно приемаме, че [tex]\begin{cases} p \cap q = B \\ p \cap s = A \\ q \cap s = C \end{cases}[/tex]
Аз предпочитам Декартов запис на уравненията на правите пред дадения нормален вид, затова преобразувам [tex]\begin{array}{l} p: \hspace{0.5em} y=x+1 \\q: \hspace{0.5em} y=7x-17\\ s: \hspace{0.5em} y=-\frac{\normalsize{1}}{\normalsize{2}}x-2 \end{array}[/tex];
Едно важно наблюдение: няма прави с равни коефициенти пред [tex]x[/tex] в Декартов запис, следователно всяка двойка прави са пресекателни, следователно търсеният триъгълник съществува.

[tex]p \cap q = B(x_{B}, y_{B}) \Rightarrow x_{B}+1=7x_{B}-17 \Leftrightarrow 6x_{B}=18 \Leftrightarrow x_{B}=3[/tex]
заместваме в една от правите за да намерим [tex]y_{B} \rightarrow y_{B}=x_{B}+1=4 \Rightarrow p \cap q = B(3;4)[/tex]

[tex]p \cap s = A(x_{A}, y_{A}) \Rightarrow x_{A}+1=-\frac{1}{2}x_{A}-2 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x_{A}=-3 \Leftrightarrow x_{A}=-2[/tex]
заместваме в една от правите за да намерим [tex]y_{A} \rightarrow y_{A}=x_{A}+1=-1 \Rightarrow p \cap s = A(-2;-1)[/tex]

[tex]q \cap s = C(x_{C}, y_{C}) \Rightarrow 7x_{C}-17=-\frac{1}{2}x_{C}-2 \Leftrightarrow \frac{15}{2}x_{C}=15 \Leftrightarrow x_{C}=2[/tex]
заместваме в една от правите за да намерим [tex]y_{C} \rightarrow y_{C}=-\frac{1}{2}x_{C}-2=-3 \Rightarrow q \cap s = C(2;-3)[/tex]

Теоретично отклонение:

Скрит текст: покажи

Средата на отсечка с краища [tex]P_{1}(x_{P_{1}};y_{P_{1}})[/tex] и [tex]P_{2}(x_{P_{2}};y_{P_{2}})[/tex] е точката [tex]F(x_{F};y_{F})[/tex] за която [tex]\begin{array}{l} x_{F}=\frac{\normalsize{x_{P_{1}}+x_{P_{2}}}}{\normalsize{2}}\\ \\ y_{F}=\frac{\normalsize{y_{P_{1}}+y_{P_{2}}}}{\normalsize{2}}\end{array}[/tex]

Нека [tex]M \in AB, AM=MB; N \in BC, BN=NC[/tex]

[tex]M(x_{M};y_{M}) \rightarrow x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}; \hspace{0.5em} y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow M\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)[/tex]

[tex]N(x_{N};y_{N}) \rightarrow x_{N}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}; \hspace{0.5em} y_{N}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}=\frac{4+(-3)}{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow N\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right)[/tex]

Теоретично отклонение:

Скрит текст: покажи

Ако права минава през точките [tex]P_{1}(x_{P_{1}};y_{P_{1}})[/tex] и [tex]P_{2}(x_{P_{2}};y_{P_{2}})[/tex] то уравнението на правата има вида [tex]\frac{x-x_{P_{1}}}{x_{P_{2}}-x_{P_{1}}}=\frac{y-y_{P_{1}}}{y_{P_{2}}-y_{P_{1}}}[/tex]

За правата съдържаща медианата [tex]CM: \frac{x-x_{M}}{x_{C}-x_{M}}=\frac{y-y_{M}}{y_{C}-y_{M}} \Leftrightarrow \frac{x-\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}=\frac{y-\frac{3}{2}}{-3-\frac{3}{2}} \Leftrightarrow \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=-\frac{y-\frac{3}{2}}{\frac{9}{2}} \Leftrightarrow \frac{9}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right) \>|\cdot{\frac{2}{3}} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3\left(x-\frac{1}{2}\right)=-1\left(y-\frac{3}{2}\right) \Leftrightarrow 3x-\frac{3}{2} = -y+\frac{3}{2} \Leftrightarrow y=-3x+3[/tex]

За правата съдържаща медианата [tex]AN: \frac{x-x_{N}}{x_{A}-x_{N}}=\frac{y-y_{N}}{y_{A}-y_{N}} \Leftrightarrow \frac{x-\frac{5}{2}}{-2-\frac{5}{2}}=\frac{y-\frac{1}{2}}{-1-\frac{1}{2}} \Leftrightarrow -\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{9}{2}}=-\frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} \>|\cdot{(-1)} \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)=\frac{9}{2}\left(y-\frac{1}{2}\right) \>|\cdot{\frac{2}{3}} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 1\left(x-\frac{5}{2}\right)=3\left(y-\frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow x-\frac{5}{2} = 3y-\frac{3}{2} \Leftrightarrow 3y-x+\frac{2}{2}=0 \Leftrightarrow 3y=x-1\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\because CM \cap AN = G(x_{G};y_{G}) \Rightarrow -3x_{G}+3=\frac{1}{3}x_{G}-\frac{1}{3} \Leftrightarrow \left(3+\frac{1}{3}\right)x_{G}=3+\frac{1}{3} \Leftrightarrow x_{G}=1[/tex]
[tex]\Rightarrow y_{G}=-3x_{G}+3=0 \Rightarrow[/tex] $$ G(1; 0) $$

Бележка:
Още едно теоретично отклонение:

Скрит текст: покажи

[tex]\begin{array}{|l} p: \hspace{1em} y=k_{1}x+m_{1} \\ q: \hspace{1em} y=k_{2}x+m_{2} \\ \hspace{2em} k_{1}\cdot{k_{2}}=-1 \end{array} \Rightarrow p \bot q[/tex]

Понеже за правите на медианите [tex]AM[/tex] и [tex]CN[/tex], записани е Декартов вид, произведението от коефициентите пред [tex]x[/tex] е равно на [tex]-1[/tex] следва, че медианите са взаимно перпендикулярни [tex]AM \bot CN[/tex].