Права триъгълна призма

[Гост]

Даденае права триъгълна призма ABCA1B1C1., за която AC=BC=4см., AB =6 см., AA1 = 8см. Намерете косинуса на ъгъла между правата AB1 и равнината (ACC1).

[ammornil]

Даденае права триъгълна призма ABCA1B1C1., за която AC=BC=4см., AB =6 см., AA1 = 8см. Намерете косинуса на ъгъла между правата AB1 и равнината (ACC1).

Screenshot 2023-04-24 161440.png (21.65 KiB) Прегледано 2144 пъти

Всички дължини на отсечки са в сантиметри.
[tex]\triangle{A_{1}B_{1}C_{1}} \rightarrow A_{1}B_{1}^{2}=A_{1}C_{1}^{2}+B_{1}C_{1}^{2}-2\cdot{A_{1}}\cdot{B_{1}}\cdot{\cos{\angle{A_{1}C_{1}B_{1}}}} \Rightarrow \cos{\angle{A_{1}C_{1}B_{1}}}=\frac{A_{1}C_{1}^{2}+B_{1}C_{1}^{2}-A_{1}B_{1}^{2}}{2\cdot{A_{1}}\cdot{B_{1}}}=\frac{4^{2}+4^{2}-6^{2}}{2\cdot{4}\cdot{4}}=-\frac{4}{32}=-\frac{1}{8} \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \sin{\angle{A_{1}C_{1}B_{1}}}=\sqrt{1-\cos^{2}{\angle{A_{1}C_{1}B_{1}}}}=\sqrt{\frac{63}{64}}=\frac{3\sqrt{7}}{8}[/tex]

[tex]\triangle{B_{1}C_{1}K}, \hspace{0.5em} \angle{B_{1}KC_{1}}=90^{\circ}, \hspace{0.5em} \sin{\angle{B_{1}C_{1}K}}=\sin{(180^{\circ}-\angle{A_{1}C_{1}B_{1}})}=\sin{\angle{A_{1}C_{1}B_{1}}}=\frac{3\sqrt{7}}{8}[/tex]

[tex]B_{1}K=B_{1}C_{1}\cdot{\sin{\angle{B_{1}C_{1}K}}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}, \hspace{0.5em} C_{1}K^{2}=B_{1}C_{1}^{2}-B_{1}K^{2}=16-\frac{63}{4}=\frac{1}{64} \Rightarrow C_{1}K=\frac{1}{8}[/tex]

[tex]\triangle{AA_{1}K}, \hspace{0.5em} \angle{AA_{1}K}=90^{\circ}, \hspace{0.5em} A_{1}K=A_{1}C_{1}+C_{1}K=\frac{33}{8} \Rightarrow AK^{2}=A_{1}K^{2}+AA_{1}^{2}=\frac{1089+4096}{64}=\frac{5185}{64} \Rightarrow AK=\frac{\sqrt{5185}}{8}[/tex]

[tex]\triangle{AB_{1}B} \rightarrow AB_{1}^{2}=AB^{2}+BB_{1}^{2}=6^{2}+8^{2}=100 \Rightarrow AB_{1}=10[/tex]

[tex]\because \begin{cases} B_{1}K \bot A_{1}C_{1} \\ A_{1}C_{1} \in p(A_{1}KA) \end{cases} \Rightarrow A_{1}K \text { е ортогонална проекция на } AB_{1} \text{ в } p(A_{1}KA) \Rightarrow \angle{KAB_{1}} \text{ е търсеният ъгъл между } AB_{1} \text{ и } p(ACC_{1})[/tex]

[tex]\triangle{A_{1}B_{1}K} \rightarrow \cos{\angle{KAB_{1}}}=\frac{AB_{1}^{2}+AK^{2}-B_{1}K^{2}}{2\cdot{AB_{1}}\cdot{AK}}=\frac{100+\frac{5185}{64}-\frac{63}{4}}{2\cdot{10}\cdot{\frac{\sqrt{5185}}{8}}}=\frac{\frac{6400+5185-1008}{64}}{\frac{5\sqrt{5185}}{2}}[/tex]

[tex]\cos{\angle{KAB_{1}}}=\frac{10577}{5\cdot{32}\cdot{\sqrt{5185}}}=\frac{7\cdot{1511}}{5\cdot{32}\cdot{\sqrt{5185}}}=\frac{10577\cdot{\sqrt{5185}}}{829600}[/tex]

Проверете изчисленията, защото ми се получиха много криви числа, но това е един начин да се намери търсеното.

[S.B.]

Даденае права триъгълна призма ABCA1B1C1., за която AC=BC=4см., AB =6 см., AA1 = 8см. Намерете косинуса на ъгъла между правата AB1 и равнината (ACC1).

Без заглавие - 2023-04-25T085030.310.png (212.09 KiB) Прегледано 2118 пъти

Друг поглед върху задачата

Ъгълът кийто търсим е ъгълът между [tex]A B_{1 }[/tex] и ортогоналната ѝ проекция в равнината [tex]AC C_{1 } A_{1 } \Leftrightarrow \angle B_{1 }AH = \varphi[/tex]
[tex]\angle B_{1 } HA = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle AH B_{1 }[/tex] е правоъгълен
Тогава [tex]\frac{ B_{1 }H }{A B_{1 } } = \sin \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \sqrt{1 - \sin^{2 } \varphi }[/tex]
От [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex]:
По Херонова формула [tex]S_{ A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = 3 \sqrt{7}[/tex]
[tex]S_{ A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = \frac{ A_{1 } C_{1 }. B_{1 }H }{2} \Leftrightarrow 3 \sqrt{7} = \frac{4. B_{1 }H }{2} \Rightarrow B_{1 }H = \frac{3 \sqrt{7} }{2}[/tex]

От [tex]\triangle AB B_{1 }[/tex] по Питагорова теорема [tex]\Rightarrow A B_{1 } = 10[/tex]

От[tex]\triangle AB_{1 }H \rightarrow \sin \varphi = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \sqrt{7} }{2} }{10} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{3 \sqrt{7} }{20}[/tex]

[tex]\cos \varphi = \sqrt{1 - \sin^{2 } \varphi } = \sqrt{1 - \frac{9.7}{400} } = \sqrt{ \frac{400 - 63}{400} }[/tex]
$$\Rightarrow \cos \varphi = \frac{ \sqrt{337} }{20} $$