Домашна работа от прикачените файлова 1 до 10

[Мария80085]

Задачите са за домашна, но аз не мога да ги реша за това се озовах тук. Искрено ще съм благодарна ако някой ми подаде ръка

[Евва]

3 зад.г) [tex]cos^{2 }[/tex]20[tex]^\circ[/tex] +[tex]cos^{2 }[/tex]40[tex]^\circ[/tex] +[tex]cos^{2 }[/tex]100[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1+cos40 ^\circ }{2}[/tex] +[tex]\frac{1+cos80 ^\circ }{2}[/tex] +[tex]\frac{1+cos200 ^\circ }{2}[/tex] =

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][ 3+(cos80[tex]^\circ[/tex]+cos40[tex]^\circ[/tex]) +cos200[tex]^\circ[/tex] ]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][ 3+2cos[tex]\frac{80 ^\circ +40 ^\circ }{2}[/tex] .cos[tex]\frac{80 ^\circ -40 ^\circ }{2}[/tex] +cos(180[tex]^\circ[/tex]+20[tex]^\circ[/tex]) ]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][ 3+2cos60[tex]^\circ[/tex]cos20[tex]^\circ[/tex]+( -cos20[tex]^\circ[/tex]) ]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][ 3+2.[tex]\frac{1}{2}[/tex].cos20[tex]^\circ[/tex] -cos20[tex]^\circ[/tex] ]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][3+0]=

=[tex]\frac{3}{2}[/tex]
Тази домашна за математическа гимназия ли е ,или за друга ?

[Евва]

4 зад. б)
За да решим б) е удобно първо да докажем ,че е в сила д) ,която напълно съвпада с тъждеството
sin2[tex]\alpha[/tex]+sin2[tex]\beta[/tex]+sin2[tex]\gamma[/tex] =4sin[tex]\alpha[/tex]sin[tex]\beta[/tex]sin[tex]\gamma[/tex] (1)

[tex]\frac{cos \alpha }{sin \beta .sin \gamma }[/tex] +[tex]\frac{cos \beta }{sin \alpha .sin \gamma }[/tex] +[tex]\frac{cos \gamma }{sin \alpha .sin \beta }[/tex] =

=[tex]\frac{2sin \alpha.cos \alpha +2sin \beta.cos \beta +2sin \gamma.cos \gamma }{2sin \alpha.sin \beta.sin \gamma }[/tex] =

=[tex]\frac{sin2 \alpha +sin2 \beta +sin2 \gamma }{2sin \alpha.sin \beta.sin \gamma }[/tex] = ( виж (1) )

=[tex]\frac{4sin \alpha.sin \beta.sin \gamma }{2sin \alpha.sin \beta.sin \gamma }[/tex] =

=[tex]\frac{4}{2}[/tex] =2

[KOPMOPAH]

Решение на $3$ е:

$~~~~~~~~\sin\frac {3\pi}{10}-\sin\frac {\pi}{10}=2\sin \frac{\frac {3\pi}{10}-\frac {\pi}{10}}{2}\cos\frac{\frac {3\pi}{10}+\frac {\pi}{10}}{2}=2\sin \frac {\pi}{10}\cos\frac {2\pi}{10}=2\cos\left( \frac {\pi}2- \frac {\pi}{10}\right)\cos\frac {2\pi}{10}=2\cos\frac {4\pi}{10}\cos\frac {2\pi}{10}$

Умножаваме получения израз по $\frac{\displaystyle\sin\frac {2\pi}{10}}{\displaystyle\sin\frac {2\pi}{10}}$ и става:

$~~~~~~~~2\cos\frac {4\pi}{10}\cos\frac {2\pi}{10}.\frac{\sin\frac {2\pi}{10}}{\sin\frac {2\pi}{10}}=\cos\frac {4\pi}{10}.\frac{2\cos\frac {2\pi}{10}\sin\frac {2\pi}{10}}{\sin\frac {2\pi}{10}}=\frac{\cos\frac {4\pi}{10}.\sin\frac {4\pi}{10}}{\sin\frac {2\pi}{10}}=\frac{2\cos\frac {4\pi}{10}.\sin\frac {4\pi}{10}}{2\sin\frac {2\pi}{10}}=\frac{\sin\frac {8\pi}{10}}{2\sin\frac {2\pi}{10}}=\frac{\sin\left(\pi-\frac {8\pi}{10}\right)}{2\sin\frac {2\pi}{10}}=\frac{\cancel{\sin\frac {2\pi}{10}}}{2\cancel{\sin\frac {2\pi}{10}}}=\frac 12$

[KOPMOPAH]

Да решим

$~~~~~~~~\cos \frac{9\pi}{17}\cos \frac{13\pi}{17}\cos \frac{15\pi}{17}\cos \frac{16\pi}{17}=\frac 1{16}$

Започваме с това, че:

$~~~~~~~~\cos \frac{9\pi}{17}=-\cos \left(\pi-\frac{9\pi}{17}\right)=-\cos \frac{8\pi}{17}~~~~~~~~~~~~(1)$
$~~~~~~~~\cos \frac{13\pi}{17}=-\cos \left(\pi-\frac{13\pi}{17}\right)=-\cos \frac{4\pi}{17}~~~~~~~~(2)$
$~~~~~~~~\cos \frac{15\pi}{17}=-\cos \left(\pi-\frac{15\pi}{17}\right)=-\cos \frac{2\pi}{17}~~~~~~~~(3)$
$~~~~~~~~\cos \frac{16\pi}{17}=-\cos \left(\pi-\frac{16\pi}{17}\right)=-\cos \frac{\pi}{17}~~~~~~~~~(4)$

Умножаваме равенства $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ и получаваме:

$~~~~~~~~\cos \frac{9\pi}{17}\cos \frac{13\pi}{17}\cos \frac{15\pi}{17}\cos \frac{16\pi}{17}=\cos \frac{8\pi}{17}\cos \frac{4\pi}{17}\cos \frac{2\pi}{17}\cos \frac{\pi}{17}$

Дясната страна на последното равенство умножаваме по $~~\frac{2\sin \frac{\pi}{17}}{2\sin \frac{\pi}{17}}$ и получаваме:

$~~~~~~~~\cos \frac{8\pi}{17}\cos \frac{4\pi}{17}\cos \frac{2\pi}{17}\cos \frac{\pi}{17}.\frac{\sin \frac{\pi}{17}}{\sin \frac{\pi}{17}}=\frac{\cos \frac{8\pi}{17}\cos \frac{4\pi}{17}\cos \frac{2\pi}{17}\cdot \underbrace{2\cos \frac{\pi}{17}\sin \frac{\pi}{17}}_{=\sin \frac{2\pi}{17}}}{2\sin \frac{\pi}{17}}=\frac{\cos \frac{8\pi}{17}\cos \frac{4\pi}{17}\cos \frac{2\pi}{17}\sin \frac{2\pi}{17}}{2\sin \frac{\pi}{17}}$

Умножаваме числителя и знаменателя на последния израз с $2$


$~~~~~~~~\frac{\cos \frac{8\pi}{17}\cos \frac{4\pi}{17}\cdot 2\cos \frac{2\pi}{17}\sin \frac{2\pi}{17}}{2\cdot 2\sin \frac{\pi}{17}}=\frac{\cos \frac{8\pi}{17}\cos \frac{4\pi}{17}\cdot \underbrace{2\cos \frac{2\pi}{17}\sin \frac{2\pi}{17}}_{\sin \frac{4\pi}{17}}}{4\sin \frac{\pi}{17}}$

Скрит текст: покажи

На това място полудях от несъвършенството на LaTeX интерпретатора и необходимостта да се коригира с \displaystyle...

След подобни преобразования се стига до:

$~~~~~~~~\frac{\sin \frac{16\pi}{17}}{16\sin \frac{\pi}{17}}=\frac{\sin \left(\pi- \frac{16\pi}{17}\right)}{16\sin \frac{\pi}{17}}=\frac {\cancel{\sin \frac{\pi}{17}}}{16\cdot\cancel{\sin \frac{\pi}{17}}}=\frac 1{16}$

[KOPMOPAH]

$~~~~~~~~\sin \alpha - \cos \alpha =m \Rightarrow (\sin \alpha - \cos \alpha)^2= m^2 \cdots \Rightarrow~~~~ \sin 2\alpha=\boxed{1-m^2}$

$~~~~~~~~\frac{\sin 4\alpha+\underbrace{\sin 10\alpha-\sin 6\alpha}_{=2\sin 2\alpha\cos 8\alpha}}{\cos 2\alpha+\underbrace{1-2\sin^2 4\alpha}_{=\cos 8\alpha} }=\frac{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha+2\sin 2\alpha\cos 8\alpha}{\cos 2\alpha+\cos 8\alpha}=\frac {2\sin 2\alpha (\cancel{\cos 2\alpha+\cos 8\alpha})}{\cancel{\cos 2\alpha+\cos 8\alpha}}=2\sin 2\alpha=\cdots$

[KOPMOPAH]

$~~~~~~~~\cos^220^\circ+\cos^240^\circ+\cos^2100^\circ=1-\sin^220^\circ+1-\sin^240^\circ+1-\sin^2100^\circ=1-\frac{1-\cos 40^\circ}2+1-\frac{1-\cos 80^\circ}2+1-\frac{1-\cos 200^\circ}2=$
$~~~~~~~~\frac 32+\frac 12(\underbrace{\cos 40^\circ+\cos 80^\circ}_{=\cancel 2\cancel{\cos 60^\circ}\cos 20^\circ}+\underbrace{\cos 200^\circ}_{=-\cos 20^\circ})=\frac 32+\frac 12(\cos 20^\circ-\cos 20^\circ)=\frac 32$