Тригонометрия

[Гост]

20230523_184439.jpg (766.02 KiB) Прегледано 2148 пъти

[KOPMOPAH]

Ако $\cos \alpha =\frac 1{\sqrt5}$ и $\alpha \in \left(\frac {3\pi}2;2\pi\right)$, то намерете $\cos(7\pi-2\alpha)=?$

Формулите, които трябва да използваш в случая, са две:

$~~~~~~~~\boxed 1 ~~\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\ cos \beta+\sin \alpha\sin \beta$

$~~~~~~~~\boxed 2 ~~\cos 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1$

Да съобразиш на колко е равно $\cos 7\pi$ и $\sin 7\pi$ е по-лесно, отколкото да публикуваш някоя остаряла дума като "моля" в комбинация със снимката.

[KOPMOPAH]

Тук пък трябва да се използват следните формули:

$~~~~~~~~~~\boxed 1 ~~\cos \alpha + \cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}2 \cos \frac{\alpha-\beta}2$
$~~~~~~~~~~\boxed 2 ~~\cos \alpha - \cos \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}2 \sin \frac{\beta-\alpha}2$

$~~~~~~~~~~\cos 4\alpha-\cos 3\alpha+\cos 5\alpha-\cos 6\alpha=\underbrace{\cos 5\alpha+\cos 4\alpha}_{2 \cos \frac{5\alpha+4\alpha}2 \cos \frac{5\alpha-4\alpha}2}-\underbrace{(\cos 6\alpha+\cos 3\alpha)}_{2 \cos \frac{6\alpha+3\alpha}2 \cos \frac{6\alpha-3\alpha}2}=2 \cos \frac{5\alpha+4\alpha}2 \cos \frac{5\alpha-4\alpha}2-2 \cos \frac{6\alpha+3\alpha}2 \cos \frac{6\alpha-3\alpha}2=\cdots$

Изваждаш общия множител пред скоби и прилагаш $\boxed 2$.

[S.B.]

Формулите, които трябва да използваш в случая, са две:

$~~~~~~~~\boxed 1 ~~\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\ cos \beta+\sin \alpha\sin \beta$

$~~~~~~~~\boxed 2 ~~\cos 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1$

И още един поглед върху задачата:

[tex]\cos( 7 \pi - 2 \alpha ) = \cos ( 6 \pi + \pi - 2 \alpha ) = \cos [6 \pi + ( \pi - 2 \alpha )] = \cos [ ( \pi -2 \alpha) + 3.2 \pi] = \cos( \pi - 2 \alpha ) = -\cos 2 \alpha[/tex]

[tex]- \cos 2 \alpha = -(\cos^{2 } \alpha - \sin^{2 } \alpha)[/tex]
[tex]\cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{5} } \Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{5} } = \pm \sqrt{ \frac{4}{5} }[/tex]
[tex]\alpha \in (\frac{3 \pi }{2} , 2 \pi) \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{2}{ \sqrt{5} }[/tex]
[tex]-\cos 2 \alpha = -( \cos^{2 } \alpha - \sin^{2 } \alpha ) = - ( \frac{1}{5} - \frac{4}{5}) = -(- \frac{3}{5}) = \frac{3}{5}[/tex]
$$\Rightarrow \cos(7 \pi - 2 \alpha ) = \frac{3}{5} $$