Вероятности

[Гост]

20230525_171614.jpg (623.45 KiB) Прегледано 2200 пъти

[peyo]

20230525_171614.jpg

Вероятността да е черна е или да е черна от 1-вата или от 2-рата кутия, където или е плюс.

Колко е вероятност $x$, която е 3-пъти по-голяма от друга вероятност $y$ и сбора им е 1?
[tex]\begin{array}{|l} x = 3y \\ x + y = 1 \end{array}[/tex]

In [321]: var("x,y")
Out[321]: (x, y)

In [323]: solve([x-3*y, x+y -1])
Out[323]: {x: 3/4, y: 1/4}

И така решението става:

In [324]: (3/4)*(8/(16+8)) + (1/4)*(18/(18+15))
Out[324]: 0.38636363636363635


И това вероятно е отговора.

[Tilko]

20230525_171614.jpg

Тази задача също може да се реши като използвате формулата за условна вероятност (въпреки, че решението на peyo по-горе е вярно и ми харесва повече) :

P(A|B) =[tex]\frac{P(A \cap B)}{P(B)}[/tex]

P(A|B) e условната вероятност на събитие A при условие, че е настъпило събитие B.
P(A [tex]\cap[/tex] B) е вероятността на събитието A [tex]\cap[/tex] B - т.е. вероятността да се случат едновременно и двата събития.
P(B) е вероятността на събитието B.
В случая:
A е "извадената топка е черна".
B е "топката е извадена от първата кутия".
Вероятността P(B) е [tex]\frac{3}{4}[/tex], тъй като вероятността топката да бъде извадена от първата кутия е три пъти по-голяма от вероятността да бъде извадена от втората кутия. Вероятността P(A и B) е [tex]\frac{16}{24}[/tex] * [tex]\frac{8}{24}[/tex] = [tex]\frac{2}{9}[/tex], тъй като имаме 16 черни топки в първата кутия и 8 черни топки във втората кутия. Така че:

P(A|B) = [tex]\frac{(2/9)}{(3/4)}[/tex] = [tex]\frac{1}{6}[/tex]

Вероятността извадената топка да е черна при условие, че топката е извадена от първата кутия, е [tex]\frac{1}{6}[/tex]

[ammornil]

[tex]\frac{2}{9}\div \frac{3}{4}=\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{27}[/tex]

[peyo]

Ok, да направим симулация:

Код: Избери целия код

from random import choice

p,N = 0,10000000
K1 = ["w"]*16 + ["b"]*8
K2 = ["w"]*15 + ["b"]*18

for _ in range(N):
   k = choice([1,1,1,2])
   ball = choice(K1) if k==1 else choice(K2)
   if ball=="b":
      p+=1
print(p/N)


0.3863742

[Genie_Almo]

$$
$$
А може да приложим и една проста мисловна техника, с която задачата става съвсем разбираема и лесно решима.

Конструираме аналогична, но в същото време по-малко абстрактна постановка. Да си преставим, че имаме три кутии с разпределнието от първия тип - 16 бели и 8 черни топки, и една кутия с разпределение 15 бели и 18 черни топки. И сега, ако на случаен принцип изберем една от четирите кутии и извадим една топка, каква ще е вероятността тя да е черна? Записано с формула, този въпрос, а и неговият отговор, ще звучат така:

$P(черна) = \frac{3}{4}*\frac{8}{16+8}+ \frac{1}{4}*\frac{18}{15+18} = 0.38636363636$