Ромбът е завъртян около едната си страна. V = ?

[Гост]

Страната на ромб има дължина 25. А единият му диагонал е 40. Ромбът е завъртян около едната си страна. Намерете лицето на повърхнината и обема на полученото ротационно тяло.

[ammornil]

Страната на ромб има дължина 25. А единият му диагонал е 40. Ромбът е завъртян около едната си страна. Намерете лицето на повърхнината и обема на полученото ротационно тяло.

Screenshot 2023-06-13 082732.png (40.36 KiB) Прегледано 2402 пъти

[tex]AB=BC=CD=AD=CB_{1}=B_{1}A_{1}=DA_{1}=25; \hspace{2em} AC=CA_{1}=40[/tex]
При въртенето около едната си страна ромбът описва тяло, което е прав кръгов цилиндър с добавен от едната страна прав кръгов конус и същият конус издълбан от обема на цилиндъра от другата му страна.
Радиусите на основите на цилиндъра и конусите са равни на височината на ромба, а околния ръб на цилиндъра и образувателните на конусите са равни на страната на ромба.
Околната повърхнина на това тяло е равна на околната повърхнина на цилиндъра плюс два пъти околната повърйнина на конуса (взимаме не пълните, а околните повърхнини, никоя основа на съставно тяло не е външна за цялото тяло).
Обемът на тялото е равен на обема на цилиндъра [tex]ABB_{1}A_{1}[/tex] (защото обемът на конуса се прибавя и изважда, тоест на чертежа конъсът отдолу точно допълва отвора в горната част на цилиндъра до обема на целия цилиндър).

Надявам се това и чертежът по-горе да са Ви от полза.

Забелажка: на чертежа изглежда че точките [tex]B[/tex], [tex]D[/tex] и [tex]A_{1}[/tex] лежат на една права, но това не може да се ползва, защото не е казано нищо за ъглите на ромба, а е вярно само ако острите ъгли на ромба са по [tex]60^{\circ}[/tex].

Идея: [tex]\cos{\angle{CDA}}=\frac{AC^{2}-2\cdot CD^{2}}{2\cdot CD^{2}} \rightarrow \cos{\angle{ADH}}=-\cos{\angle{CDA}} \rightarrow \sin{\angle{ADH}}=\sqrt{1-\cos^{2}{\angle{ADH}}} \rightarrow AH_{1}=AD\cdot \sin{\angle{ADH}}[/tex]

[Tilko]

Нека разгледаме ромб ABCD със страна AD = 25 и диагонал AC = 40. Нека H е точката, където диагоналите на ромба се пресичат. Тогава [tex]AH_{1 }[/tex] е височината на ромба.
Тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл и се делят пополам, триъгълник AHC е правоъгълен триъгълник с катети AH1 и HC и хипотенуза AC. Следователно, можем да използваме теоремата на Питагор, за да намерим дължината на [tex]AH_{1 }[/tex]:
[tex]AH_{1 }^{2 }[/tex] + [tex]HC^{2 }[/tex] = [tex]AC^{2 }[/tex] [tex]AH_{1 }^{2 }[/tex] + [tex](\frac{AC}{2})^{2 }[/tex] = [tex]AC^{2 }[/tex] [tex]AH_{1 }^{2 }[/tex] + [tex](\frac{40}{2})^{2 }[/tex] = [tex]40^{2 }[/tex] [tex]AH_{1 }^{2 }[/tex] + [tex]20^{2 }[/tex] = 1600 - 400 [tex]AH_{1 }[/tex] = [tex]\sqrt{1200}[/tex] [tex]AH_{1 }[/tex] = 20[tex]\sqrt{3}[/tex] е височината на ромба.
Сега можем да намерим лицето на повърхнината и обема на полученото ротационно тяло. Лицето на повърхнината е равно на околната повърхнина на цилиндъра плюс два пъти околната повърхнина на конуса:
S = 2[tex]\pi[/tex]rH + 2[tex]\pi[/tex]rl
Където r е радиусът на основите, H е височината на цилиндъра, а l е образувателната на конусите. Замествайки стойностите получаваме:
S = 2[tex]\pi[/tex] * ([tex]\frac{20}{ \sqrt{3} }[/tex]) * 25 + 2[tex]\pi[/tex] * ([tex]\frac{20}{ \sqrt{3} }[/tex]) * 25 = 3000[tex]\pi[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex] + 1500[tex]\pi[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex] = 4500[tex]\pi[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex]
Обемът на тялото е равен на обема на цилиндъра:
V = [tex]\pi[/tex] * [tex](20\sqrt{3})^{2 }[/tex] * 25 = 30000[tex]\pi \sqrt{3}[/tex]
Така че лицето на повърхнината и обемът на полученото ротационно тяло са съответно S = 4500[tex]\pi[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex] и V = 30000[tex]\pi \sqrt{3}[/tex]

[ammornil]

Нека разгледаме ромб ABCD със страна AD = 25 и диагонал AC = 40. Нека H е точката, където диагоналите на ромба се пресичат. Тогава [tex]AH_{1 }[/tex] е височината на ромба.
Тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл и се делят пополам, триъгълник AHC е правоъгълен триъгълник с катети AH1 и HC и хипотенуза AC.

Ако [tex]AC \cap BD = H[/tex] то точките [tex]A[/tex], [tex]H[/tex] и [tex]C[/tex] не образуват триъгълник.

[S.B.]

Страната на ромб има дължина 25. А единият му диагонал е 40. Ромбът е завъртян около едната си страна. Намерете лицето на повърхнината и обема на полученото ротационно тяло.

Без заглавие - 2023-06-13T213001.791.png (355.15 KiB) Прегледано 2380 пъти

И още един поглед върху задачата

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{ AC^{2 } - AB^{2 }- BC^{2 } }{-2.AB.BC} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{1600 - 1250}{-1250} \Rightarrow \cos \varphi =
- \frac{7}{15} \Rightarrow \angle ABC = \angle \varphi > 90 ^\circ[/tex]
[tex]\angle \varphi = -\frac{7}{25} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{24}{25}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = AB.BC.\sin \varphi \Leftrightarrow S_{ABCD }= 25^{2 }. \frac{24}{25} \Rightarrow S_{ABCD }= 600[/tex]
[tex]S_{ABCD } = CO.AB \Leftrightarrow 600 = CO.25 \Rightarrow CO = 24[/tex]
За [tex]\triangle BOC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]BO^{2 } = BC^{2 }- CO^{2 } \Leftrightarrow BO^{2 } = 25^{2 } - 24^{2 } = (25 - 24)(25 + 24) \Rightarrow BO^{2 }= 49 \Rightarrow BO = 7[/tex]
Ромбът $ABCD$ се завърта около страната $AB$ при което се получава ротационно тяло състоящо се от прав кръгов цилиндър с осно сечение [tex]D_{1 } C_{1 }CD[/tex] и два еднакви прави кръгови конуса с осни сечения [tex]A D_{1 } D[/tex] и [tex]B C_{1 }C[/tex]
[tex]OC = r[/tex] е радиусът на тялото, $AB$ е височината на цилиндъра, $BC$ е образувателната на конуса, а $BO$ е височината на конуса.
[tex]r = OC = 24 , l = BC = 25[/tex]
[tex]S_{тялото } = S_{цил. } + 2. S_{кон } \Leftrightarrow S_{тялото }= 2 \pi r.AB + 2. \pi rl = 2. \pi .24.25 + 2. \pi.24 .25 = 2400 \pi[/tex]
[tex]V_{тялото } = V_{цил. } + V_{AD D_{1 } } - V_{BC C_{1 } } = V_{цил } = \pi r^{2 } .AB = \pi. 24^{2 }.25 = 14400 \pi[/tex]

[Tilko]

Нека разгледаме ромб ABCD със страна AD = 25 и диагонал AC = 40. Нека H е точката, където диагоналите на ромба се пресичат. Тогава [tex]AH_{1 }[/tex] е височината на ромба.
Тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл и се делят пополам, триъгълник AHC е правоъгълен триъгълник с катети AH1 и HC и хипотенуза AC.

Ако [tex]AC \cap BD = H[/tex] то точките [tex]A[/tex], [tex]H[/tex] и [tex]C[/tex] не образуват триъгълник.

Извинявам се за грешката в моя предишен отговор!