Тригонометрия

[Гост]

Ако sin[tex]\alpha[/tex] = 3/5 и [tex]\alpha[/tex] [tex]\in[/tex](90;180) .
Намерете sin2[tex]\alpha[/tex]

[Davids]

Универсално важи: $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Остава да се зачудим колко е $\cos\alpha$.

Отново универсално важи: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Longrightarrow \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = \frac{16}{25}$

Или това, което можем еднозначно да заключим със знанието дотук, е:
$|\cos\alpha| = \frac{4}{5}$

Съществено тук е да обърнем внимание на модула. Но в този момент на помощ ни идва дадения интервал за ъгъла: $\alpha\in (90^{\circ}, 180^{\circ})$. В този интервал косинусът приема отрицателни стойности.

Значи $\cos\alpha = \textcolor{red}{-}\frac{4}{5}$.

И окончателно $\sin2\alpha = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$

[Гост]

[KOPMOPAH]

Малко тромавият отговор на $ChatGPT$, който не може да се сравнява с отговора на $Davids$, но върши работа:

За да намерите sin(2α), можете да използвате тригонометричната формула за двойния ъгъл:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α).

Първо трябва да намерите стойностите на sin(α) и cos(α) по дадената информация. Зная че sin(α) = 3/5, можем да използваме теоремата на Питагор за намиране на стойността на cos(α):

cos(α) = ±√(1 - sin²(α))
cos(α) = ±√(1 - (3/5)²)
cos(α) = ±√(1 - 9/25)
cos(α) = ±√(25/25 - 9/25)
cos(α) = ±√(16/25)
cos(α) = ±(4/5)

Тъй като α се намира в квадрант II (90° < α < 180°), cos(α) е отрицателно. Следователно:

cos(α) = -4/5.

Сега можем да използваме тези стойности в формулата за sin(2α):

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
sin(2α) = 2(3/5)(-4/5)
sin(2α) = -(24/25)

Така че sin(2α) = -(24/25).