да се докаже, че an = (3n-1)/(n+3) е строго растяща

[noobnoob234]

да се докаже, че an = (3n-1)/(n+3) е строго растяща.
аз го доказах като заместя във формулата ама госпожата иска с букви да се докаже

[Martin Nikovski]

За два произволни последователни елемента на редицата ([tex]a_n[/tex] и [tex]a_{n+1}[/tex]) имаме:
[tex]a_n=\frac{3n-1}{n+3 }[/tex]
[tex]a_{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)-1}{n+1+3 }=\frac{3n+2}{n+4 }[/tex]
Намираме разликата [tex]a_{n+1}-a_n[/tex]. Ако тя е [tex]>0[/tex], то функцията е строго растяща.
[tex]a_{n+1}-a_n=\underbrace {\frac{3n+2}{n+4 }-\frac{3n-1}{n+3 }}_{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}=\frac{\left(3n+2\right)\left(n+3\right)-\left(3n-1\right)\left(n+4\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right) }=\frac{\cancel{3n^2}+9n+2n+6-\cancel{3n^2}-12n+n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right) }[/tex]

[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{10}{\left(n+4\right)\left(n+3\right) }[/tex]
[tex]n[/tex] е поредният номер на елемента в редицата, следователно [tex]n\in N[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]n>0[/tex]. Оттук следва, че изразите [tex]n+4[/tex] и [tex]n+3[/tex] също са [tex]>0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{10}{\left(n+4\right)\left(n+3\right) }>0[/tex]
[tex]a_{n+1}-a_n>0[/tex] Това означава, че за произволно избран елемент от редицата е вярно, че елементът СЛЕД него е по-голям. С други думи, редицата е строго растяща.
П.П. В някои случаи е по-удобно да се намери [tex]\frac{a_{n+1}}{a_n }[/tex] и полученият резултат да се сравни с [tex]1[/tex] (ако например [tex]a_{n+1}[/tex] и [tex]a_n[/tex] имат общи множители).

[L.e.o]

An+1 e 3n+2/n+4, Maрто.
Аn+1 - An = 10/(n+4)(n+3), което е >0 за n различно от [-4,-3]. n e R =>
An+1 > An => ф-ята е растяща.

[Martin Nikovski]

О.. случват се такива грешки... Оправих го!

[noobnoob234]

Евала за бързия отговор