симетрична точка

[Гост]

Здравейте, бихте ли помогнали за тази задача от аналитична геометрия за профилирана математика за 11. клас:

Да се намерят координатите на точка В, симетрична на точка А(1;-2) спрямо права: 4x-3y+15=0.

[ammornil]

Да се намерят координатите на точка В, симетрична на точка А(1;-2) спрямо права: 4x-3y+15=0.

Симетричната точка и дадената определят права, перпендикулярна на дадената и лежат на равни разстояния от пресечната точка на тези две прави.
Нека дадената права е [tex]p: 4x-3y+15=0 \Rightarrow y=\frac{4}{3}x+5[/tex].
[tex]q: y=kx+m, q \bot p \Rightarrow k=-\frac{3}{4} \\ A \in q \Rightarrow -2=-\frac{3}{4}\cdot{1}+m \Leftrightarrow m=-2+\frac{3}{4} \Leftrightarrow m=-\frac{5}{4} \\ \phantom{q} \\ \Rightarrow q: y=-\frac{3}{4}x-\frac{5}{4} \\ \phantom{q} \\ p\cap q = M(x_{M};y_{M}) \Rightarrow \frac{4}{3}x_{M}+5=-\frac{3}{4}x_{M}-\frac{5}{4} \Leftrightarrow \frac{25}{12}x_{M}=-\frac{25}{4} \Leftrightarrow x_{M}=-3 \\ y_{M}=-\frac{3}{4}\cdot{( -3)}-\frac{5}{4}=\frac{9-5}{4}=1[/tex]

[tex]\begin{array}{l} A(1;-2) \\ M(-3;1) \end{array} \Rightarrow \vec{AM}\left(x_{M}-x_{A}; y_{M}-y_{A} \right)=\vec{AM}\left(-4; 3 \right)[/tex]
Ако точката [tex]B(x_{B}; y_{B})[/tex] точката симетричната на [tex]A(1;-2)[/tex], то [tex]\vec{AB}=2\cdot \vec{AM} \Rightarrow \vec{AB}\left(-4\cdot 2 ; 3 \cdot 2\right) \Rightarrow \vec{AB}\left(-8 ; 6\right)[/tex]

[tex]\vec{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A}) \Rightarrow \begin{array}{|l} x_{B}-x_{A}=-8 \\ y_{B}-y_{A} = 6 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_{B}=-8+1 \\ y_{B}=6+(-2) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{B}=-7 \\ y_{B}=4 \end{array}[/tex]$$ B(-7,4) $$

Screenshot 2024-01-03 123420.png (17.39 KiB) Прегледано 2105 пъти

[Гост]

Благодаря Ви, защото обаче вектор АВ е 2 пъти по-голям от вектор АМ?

[ptj]

Благодаря Ви, защото обаче вектор АВ е 2 пъти по-голям от вектор АМ?

Защото [tex]М[/tex] е среда на [tex]AB[/tex].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
За мен проблема, е че някои амбициозни глупаци от МОН са решили да вкарат "орязан" вариант на Аналитичната Геометрия в училище (подобно на руското образование). По принцип има доста различни начини за решавне на подобен род задачи, които вие не знаете. Например един от възможните варианти е смяна на координатната система, но не мисля че е необходимо да ви пълнят главите с излишни знания (поне спрямо сегашното ви ниво). Ако в бъдеше младото поколение стане в пъти по-добро относно математическата си култура, може би подобна добавка би била актуална. За съжаление ,като гледам накъде върви образованието в БГ в последните години, не мисля, че това е възможна переспектива поне за следващите 10-20 години.