Аналитична геометрия

[Гост]

Здравейте, изпитвам затруднения с тази задача.

В координатната система с център т.О(0;0) е дадена права l:y = -2x+4. Точките А[tex]\in[/tex] l, B[tex]\in[/tex] l са такива, че ъгловите коефициенти на правите АО и ВО са съответно 1 и 2. Намерете tg[tex]\angle AOB[/tex] и координатите на точките А и В, петата С на височината през А в [tex]\triangle АВО[/tex] и пресечните точки D и Е на окръжността с диаметър АО съответно с координатните оси Ох и Оу

[ammornil]

Здравейте, изпитвам затруднения с тази задача.

В координатната система с център т.О(0;0) е дадена права l:y = -2x+4. Точките А[tex]\in[/tex] l, B[tex]\in[/tex] l са такива, че ъгловите коефициенти на правите АО и ВО са съответно 1 и 2. Намерете tg[tex]\angle AOB[/tex] и координатите на точките А и В, петата С на височината през А в [tex]\triangle АВО[/tex] и пресечните точки D и Е на окръжността с диаметър АО съответно с координатните оси Ох и Оу

[tex]\vec{OA} \left( x_{A}-x_{O} ; y_{A}-y_{O} \right ) = \vec{OA}\left( x_{A} ; y_{A} \right ) \Rightarrow \frac{y_{A}}{x_{A}}=1 \Rightarrow y_{A}=x_{A} \Rightarrow x_{A}=-2x_{A}+4 \Leftrightarrow 3x_{A}=4 \Rightarrow x_{A}=y_{A}=\frac{4}{3} \rightarrow A \left( \frac{4}{3};\frac{4}{3} \right)[/tex]
[tex]\vec{OB} \left( x_{B}-x_{O} ; y_{B}-y_{O} \right ) = \vec{OB}\left( x_{B} ; y_{B} \right ) \Rightarrow \frac{y_{B}}{x_{BA}}=2 \Rightarrow y_{B}=2x_{B} \Rightarrow 2x_{B}=-2x_{B}+4 \Leftrightarrow 4x_{B}=4 \Rightarrow x_{B}=1 \Rightarrow y_{B}=2 \rightarrow B \left( 1;2 \right)[/tex]

Нека [tex]p: y=ax+b[/tex] и [tex]q: y=cx+d[/tex] са правите, съдържащи съответно [tex]AO[/tex] и [tex]BO[/tex], следователно [tex]\begin{array}{l} p: y=1x+b\\ q: y=2x+d \end{array}[/tex].
[tex]p \cap l = A \Rightarrow -2x_{A}+4=x_{A}+b \Rightarrow b=-3x_{A}+4=0 \Rightarrow p: y=x \Leftrightarrow y-x=0 \rightarrow a_{p}=1, b_{b}=-1[/tex]
[tex]q \cap l = B \Rightarrow -2x_{B}+4=2x_{B}+d \Rightarrow d=-4x_{A}+4=0 \Rightarrow q: y=2x \Leftrightarrow y-2x=0 \rightarrow a_{q}=1, b_{q}=-2[/tex]
[tex]\angle{AOB}=\angle{(p,q)}=\arctg{\frac{a_{q}b_{p}-a_{p}b_{q}}{b_{q}b_{p}+a_{q}a_{p}}}=\arctg{\frac{1\cdot{(-1)}-1\cdot{(-2)}}{(-1)\cdot{(-2)}+1\cdot{1}}}=\arctg{\frac{-1+2}{2+1}}=\arctg{\frac{1}{3}}[/tex]

Нека [tex]t \bot q[/tex] е правата през търсената височина през върха [tex]A \left( \frac{4}{3};\frac{4}{3} \right)[/tex]. [tex]t: y=k_{t}x+m_{t} \\ \because t\bot q \Rightarrow k_{t}=-\frac{1}{k_{q}}=-\frac{1}{2} \Rightarrow t: y=-\frac{1}{2}x+m_{t} \\ A \left( \frac{4}{3};\frac{4}{3} \right) \in t \Rightarrow \frac{4}{3}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}+m_{t} \Leftrightarrow m_{t}=\frac{4}{3}+\frac{4}{6}=\frac{12}{6}=2 \Rightarrow t: y=-\frac{1}{2}x+2[/tex]


[tex]C=t\cap q \Rightarrow -\frac{1}{2}x_{C}+2=2x_{C} \Rightarrow \frac{5}{2}x_{C}=2 \Rightarrow x_{C}=\frac{4}{5} \\ y_{C}=2x_{C}=\frac{8}{5} \Rightarrow C\left(\frac{4}{5}; \frac{8}{5} \right)[/tex]

Центърът на окръжност с диаметър [tex]AO[/tex] е точката [tex]F\left(\frac{x_{A}-x_{O}}{2}; \frac{y_{A}-y_{O}}{2} \right)=F\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right)[/tex]
[tex]R=|OF|=\sqrt{(x_{F}-x_{O})^{2}+(y_{F}-y_{O})^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3} \rightarrow R^{2}=\frac{8}{9}[/tex]
[tex]k(F,R): (x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}=R^{2} \Leftrightarrow \left( x-\frac{2}{3} \right)^{2}+\left( y-\frac{2}{3} \right)^{2}-\frac{8}{9}=0 \Leftrightarrow x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}+y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}-\frac{8}{9} = 0 \\
k(F,R): 3x^{2}-4x+3y^{2}-4y=0[/tex]

[tex]k(F,R) \cap \vec{Ox} \rightarrow y_{i}=0 \Rightarrow 3x^{2}-4x=0 \rightarrow \begin{cases} x_{1}=0 \rightarrow O(0;0) \\ x_{2}=\frac{4}{3} \rightarrow D\left(\frac{4}{3};0 \right) \end{cases} \\ k(F,R) \cap \vec{Oy} \rightarrow x_{i}=0 \Rightarrow 3y^{2}-4y=0 \rightarrow \begin{cases} y_{1}=0 \rightarrow O(0;0) \\ y_{2}=\frac{4}{3} \rightarrow E\left(0;\frac{4}{3}\right) \end{cases} \\[/tex]

Вижда се, че окръжността минава през координатните оси в началото на координатната система, и точките [tex]D\left(\frac{4}{3};0 \right) , E\left(0;\frac{4}{3}\right)[/tex]
[tex][/tex]

Screenshot 2024-01-15 142146.png (23.34 KiB) Прегледано 2045 пъти