Примерни задачи за ДЗИ

[Гост]

Докато решавах задачи от едно помагало за подготовка за ДЗИ се натъкнах на тези две задачи. Изглежда съм забравил как се решават,бихте ли помогнали?

1) Старшият коефициент в нормалния вид на полинома Р= [tex]( x^{3 } - 3x^{2 } )^{4 }[/tex] * [tex](2х-3)^{5 }[/tex] е

2) Числото а е най-малкото целочислено решение на неравенството (х+2)([tex]x^{3 }[/tex] - [tex]3x^{2 }[/tex] -6х +8) [tex]\le[/tex] 0. Намерете числото а.

[ammornil]

Докато решавах задачи от едно помагало за подготовка за ДЗИ се натъкнах на тези две задачи. Изглежда съм забравил как се решават,бихте ли помогнали?

1) Старшият коефициент в нормалния вид на полинома Р= [tex]( x^{3 } - 3x^{2 } )^{4 }[/tex] * [tex](2х-3)^{5 }[/tex] е

2) Числото а е най-малкото целочислено решение на неравенството (х+2)([tex]x^{3 }[/tex] - [tex]3x^{2 }[/tex] -6х +8) [tex]\le[/tex] 0. Намерете числото а.

за първата задача старшият коефициент в първите скоби е [tex]1[/tex] и ще бъде повдигнат на степен [tex][/tex]4, а старшият коефициент във вторите скоби е [tex][/tex]2 и ще бъде повдигнат на степен [tex]5[/tex], следователно старшият коефициент на произведението ще бъде [tex]1^{4}\cdot{2^{5}}=32[/tex]

за втората задача:
[tex](x-2)(x^{3}-3x^{2}-6x+8) \\ x^{3}-3x^{2}-6x+8 = x^{3}-2x^{2}-8x-=x(x^{2}-2x-8)-(x^{2}-2x-8)=(x-1)(x^{2}-2x-8) \\ x^{2}-2x-8 \rightarrow x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1^{2}-1\cdot{(-8)}}}{1}=1\pm3 \Rightarrow x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2) \\ \Rightarrow x^{3}-3x^{2}-6x+8=(x-1)(x+2)(x-4) \Rightarrow (x-2)(x-1)(x+2)(x-4)\le{0} \\ x \in [-2;1] \cup [2;4] \\ \Rightarrow x=-2[/tex] е търсеноито число

Забелжка: разлагането на кубичния многочлен може да се направи с решетка на Хорнер:

Скрит текст: покажи

Кандидатите за корени са делителите на свободния член [tex]\\[/tex]
[tex]\hspace{2em} x^{3}-3x^{2}-6x+8 \rightarrow 8 \rightarrow \pm1; \pm2; \pm4; \pm8 \\ \begin{matrix} x&+1&-3&-6&+8 \\ -1&+1&-4&-2&\boxed{+10}&\text{не е корен} \\ +1&+1&-2&-8&\boxed{0}&\text{е корен} \end{matrix} \\ \Rightarrow x^{3}-3x^{2}-6x+8 =(x-1)(x^{2}-2x-8)\\[/tex]Остатъчният квадратен тричлен можем да разложим по показания по-горе начин с формула за квадратен тричлен.