Профилирана подготовка - геометрия

[strahil06]

Добър вечер, може ли да помогнете с тези два задачи от профилирана подготовка? Предполагам обаче, че могат да се решат и с знания от 7. клас, проблемът е, че съм ги позабравил...

1. Даден е равнобедрен трапец, на който бедрата и малката основа са с дължина 45 см. Колко трябва да е дължината на голямата основа, за да има трапецът най-голямо лице?
2. Триъгълникът АВС е завъртян около права, минаваща през върха В, която е перпендикулярна на страната АВ. Ако АС е 2[tex]\sqrt{3}[/tex], АВ=4 и [tex]\angle[/tex] САВ=30[tex]^\circ[/tex], лицето на повърхнината на полученото ротационно тяло е:

[ammornil]

1. Даден е равнобедрен трапец, на който бедрата и малката основа са с дължина 45 см. Колко трябва да е дължината на голямата основа, за да има трапецът най-голямо лице?

От седми клас, в равнобедрен трапец е валидно равенството [tex]\\ h^{2}=c^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\text{, където } \begin{cases}a \text{- голямата основа на трапеца}\\ b \text{- малката основа на трапеца }\\ c \text{- бедрото на равнобедрения трапец } \\ h \text{- височина на трапеца } \end{cases} \\ \text{От даденото: } b=c=45 \\ h^{2}=\left(c-\frac{a-b}{2}\right)\left(c+\frac{a-b}{2}\right)=\left(\frac{2c-a+b}{2}\right)\left(\frac{2c+a-b}{2}\right) \\ h^{2}=\left(\frac{135-a}{2}\right)\left(\frac{45+a}{2}\right) \\ h = \frac{\sqrt{(135-a)(45+a)}}{2} \\ S_{трапец}=\frac{a+b}{2}\cdot{h} \Rightarrow S(a) = \frac{a+45}{2}\cdot{\frac{\sqrt{(135-a)(45+a)}}{2}} \\ u=a+45 > 0 \Rightarrow S(u)= \frac{u}{2}\cdot{\frac{\sqrt{(180-u)\cdot{u}}}{2}} \\ S(u)= \frac{u}{4}\cdot{\sqrt{180u-u^{2}}} \\ \text{Това прилича на парабола, обърната с върха нагоре, следователно изглежда да има максимум} \\ S'(u)=\frac{1}{4}\cdot{\sqrt{180u-u^{2}}}+\frac{u}{4}\cdot{\frac{180-2u}{2\sqrt{180u-u^{2}}}}=\frac{360u-2u^{2}+180u-2u^{2}}{2\sqrt{180u-u^{2}}}=\frac{540u-4u^{2}}{2\sqrt{180u-u^{2}}}[/tex]
за да има екстремум, числителят трябва да е равен на нула
[tex]540u-4u^{2}=0 \Rightarrow \begin{cases} u_{1}=0 \notin Du \\ u_{2}=135 \in Du \end{cases}[/tex]
От интервали на растене и намаляване на първата производна може да покажете, че в тази точка функцията има максимум и той е при
$$ a=u-45=90 $$

[ammornil]

2. Триъгълникът АВС е завъртян около права, минаваща през върха В, която е перпендикулярна на страната АВ. Ако АС е 2[tex]\sqrt{3}[/tex], АВ=4 и [tex]\angle[/tex] САВ=30[tex]^\circ[/tex], лицето на повърхнината на полученото ротационно тяло е:

[tex][/tex]

Screenshot 2024-01-29 151249.png (22.73 KiB) Прегледано 2160 пъти

[tex][/tex]
Вижда се, че правият ъгъл е при върха [tex]C[/tex], защото ако беше при върха [tex]B[/tex], [tex]AC[/tex] става хипотенуза, но така излиза че в правоъгълния триъгълник хипотенузата [tex]AC=2\sqrt{3}[/tex] е по-малка от катет [tex]AB=4,[/tex] което е невъзможно. [tex]BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=2[/tex]
След завъртането, полученото тяло е прав кръгов пресечен конус с радиус на голямата основа, равен на [tex]AB[/tex], радиус на малаката основа равен на [tex]CO_{1}[/tex], образувателна равна на [tex]AC[/tex] и височина, равна на височината на правоъгълния триъгълник, (построена към хипотенузата) равна на [tex]\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}[/tex], защото лежи срещу ъгъл [tex]30^{\circ}[/tex]; в тялото е издълбан прав кръгов конус с радиус на основата равен на [tex]CO_{1}[/tex] и височина, равна на височината на правоъгълния триъгълник, (построена към хипотенузата) равна на [tex]\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}=BO_{1}[/tex] и образувателна равна на [tex]BC[/tex]. Оттук можем да пресметнем, че [tex]CO_{1}=\sqrt{BC^{2}-BO_{1}^{2}}=1[/tex]
Повърхнината на полученото тяло е равна на пълната повърхнина на пресечения конус минус лицето на основата на издълбания конус плюс лицето на околната повърхнина на издълбания конус.
Имате всички елементи необходими да се пресметне повърхнината на тялото.