Затруднение на задача с четириъгълник.

[Гост]

Здравейте, затруднявам се при решението на следната задача:

Точките M, N, P и Q са средите съответно на страните AB, BC, CD и AD на четириъгълник ABCD. Ако MNPQ е правоъгълник с лице 36cm^2, намерете лицето на ABCD.

Отговорът е 72cm^2, но не мога да стигна до него. Бих се радвал на решението на задачата! =)

[S.B.]

Здравейте, затруднявам се при решението на следната задача:

Точките M, N, P и Q са средите съответно на страните AB, BC, CD и AD на четириъгълник ABCD. Ако MNPQ е правоъгълник с лице 36cm^2, намерете лицето на ABCD.

Отговорът е 72cm^2, но не мога да стигна до него. Бих се радвал на решението на задачата! =)

Без заглавие - 2024-01-30T095159.243.png (244.1 KiB) Прегледано 2158 пъти

[tex]AC\cap BD = O[/tex]
[tex]S_{MNPQ } = MN.NP = 36 cm^{2 }[/tex]
$MN$ е средна отсечка в [tex]\triangle ABC \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AC, MN || AC,AC = 2MN[/tex]
$NP$ е средна отсечка в [tex]\triangle BDC \Rightarrow NP = \frac{1}{2}BD,NP||BD,BD = 2NP[/tex]
[tex]MN \bot NP[/tex] (по условие)
[tex]\begin{cases} MN || AC\\ NP || BD\\MN \bot NP\end{cases} \Rightarrow AC \bot BD[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.\sin \angle BOC \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{2MN.2NP}{2} \sin 90 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABCD } = 2MN.NP[/tex]
[tex]\Leftrightarrow S_{ABCD } = 2 S_{MNPQ } = 2.36[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 72 cm^{2 } $$

[nikola.topalov]

Условието, че е правоъгълник е излишно. За произволен четириъгълник [tex]ABCD[/tex], при дадените означения за [tex]M[/tex], [tex]N[/tex], [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] имаме, че [tex]S_{ABCD}=2S_{MNPQ}[/tex].