Задачи от трапец

[Гост]

Добър ден, може ли да помогнете с тези две задачи за 11. клас?

1) Точка О е център на вписаната окръжност в правоъгълен трапец ABCD(AB II CD, [tex]\angle[/tex] DAB= 90[tex]^\circ[/tex]), OC = 1 cm, OB= 2cm. На колко е равно лицето на трапеца?
2) В равнобедрен трапец е вписана окръжност с радиус r. Малката основа на трапеца е два пъти по-малка от височината му. На колко е равно лицето на трапеца?

[Knowledge Greedy]

1) [tex]S_{трапец}=4[/tex]

2) [tex]S_{равнобедрен \,\ трапец}=5r^2[/tex]

Същественото е, че [tex]\Delta AOD[/tex] и [tex]\Delta BOC[/tex] са правоъгълни.

[ammornil]

1) Точка О е център на вписаната окръжност в правоъгълен трапец ABCD(AB II CD, [tex]\angle[/tex] DAB= 90[tex]^\circ[/tex]), OC = 1 cm, OB= 2cm. На колко е равно лицето на трапеца?

[tex][/tex]

Screenshot 2024-02-06 094343.png (38.32 KiB) Прегледано 2369 пъти

[tex]\\[/tex][tex]\text{Радиусът в точката на допиране е перпендикулярен на допирателната. } \\CO, BO[/tex] ъглополовящи, защото [tex]О[/tex] е център на вписаната пкръжност в [tex]ABCD \\ \Rightarrow \begin{cases} \angle{OCB}=\frac{1}{2}\angle{DCB} \\ \angle{OBC}=\frac{1}{2}\angle{ABC} \end{cases} \Rightarrow \angle{OCB}+\angle{OBC}=\frac{1}{2}\angle{DCB}+\frac{1}{2}\angle{ABC} =\frac{1}{2}(\angle{DCB}+\angle{ABC})=\frac{1}{2}\cdot{180{^\circ}}=90^{\circ} \\ \triangle{COB} \rightarrow \angle{COB}=180^{\circ}-( \angle{OCB}+\angle{OBC})=90^{\circ} \Rightarrow BC^{2}=OC^{2}+OB^{2} \Rightarrow BC=\sqrt{5} \\ S_{\triangle{COB}}=\frac{1}{2}\cdot{OC}\cdot{OB}=\frac{1}{2}\cdot{BC}\cdot{ON}, ON\bot{BC} \Rightarrow ON=r \\ r=\frac{OC\cdot{OB}}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\\ h_{тр}=2\cdot{r}=\frac{4\sqrt{5}}{5} \\ AB=a, CD=b, CE\bot{AB}, CE=h_{тр} \\ \begin{cases} CE\bot{AB} \\ DA\bot{AB} \\ AE \| CD \end{cases} \Rightarrow AE=CD \Rightarrow BE=a-b \\ \triangle{BEC} \rightarrow BC^{2}=CE^{2}+BE^{2} \Rightarrow (a-b)^{2}=BC^{2}-CE^{2}=5-\frac{16}{5}=\frac{9}{5} \Rightarrow (A) \boxed{BE= a-b=\frac{3\sqrt{5}}{5}} \\ MP\bot{AB}, O\in MP, MP=h_{тр}, MO=OP=r \\ \begin{cases} MP\bot{AB} \\ CE\bot{AB} \\ CP\|AB \end{cases} \Rightarrow ME=CP=x \\ \triangle{CPO} \rightarrow CO^{2}=CP^{2}+OP^{2} \Rightarrow x^{2}=CO^{2}-OP^{2}=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} \Rightarrow (Б)\boxed{ME=CP=x=\frac{\sqrt{5}}{5}} \\ AMOQ -\text{ квадрат по построение} \Rightarrow (В)\boxed{AM=r=\frac{2\sqrt{5}}{5}} \\ AB=AM+ME+EB=\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5} \\ CD=AE=AB-EB=\frac{3\sqrt{5}}{5} \\ S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot{CE}=\frac{1}{2}\cdot{\left(\frac{6\sqrt{5}}{5}+\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)}\cdot{\frac{4\sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{9\sqrt{5}}{5}}\cdot{\frac{4\sqrt{5}}{5}}=\frac{18}{5}\\[/tex]Проверете сметките, но това е един начин да се реши задачата.

Забележете, че точка Е се явява среда на голямата основа, а голямата снова се оказа два пъти по-голяма от малката.

[S.B.]

Добър ден, може ли да помогнете с тези две задачи за 11. клас?

1) Точка О е център на вписаната окръжност в [tex]^\circ[/tex]правоъгълен трапец ABCD(AB II CD, [tex]\angle[/tex] DAB= 90[tex]^\circ[/tex]), OC = 1 cm, OB= 2cm. На колко е равно лицето на трапеца?
2) В равнобедрен трапец е вписана окръжност с радиус r. Малката основа на трапеца е два пъти по-малка от височината му. На колко е равно лицето на трапеца?

Без заглавие - 2024-02-06T175711.479.png (314.21 KiB) Прегледано 2347 пъти

Първа задача:

$AB||CD,BC$ ги пресича [tex]\Rightarrow \angle DCB + \angle ABC = 180 ^\circ[/tex] като прилежащи;
$OC ,OB$ - ъглополовящи съответно на [tex]\angle DCB[/tex] и [tex]\angle ABC \Rightarrow OC \bot OB[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle BOC[/tex] е правоъгълен;
Прилагам Питагорова теорема: [tex]OC^{2 } + OB^{2 } = BC^{2 } \Leftrightarrow BC^{2 } = 5 \Rightarrow BC = \sqrt{5}[/tex]
[tex]OT \bot BC, OT = r[/tex]
[tex]S_{BOC } = \frac{OC.OB}{2} = \frac{2.1}{2} \Rightarrow S_{BOC } = 1[/tex]
[tex]S_{BOC } = \frac{BC.OT}{2} \Leftrightarrow S_{BOC } = \frac{r. \sqrt{5} }{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{r \sqrt{5} }{2} = 1 \Rightarrow r = \frac{2 \sqrt{5} }{5}[/tex]
[tex]h = AD = 2r[/tex]
$$\Rightarrow h = AD = \frac{4 \sqrt{5} }{5} $$
В трапеца е вписана окръжност [tex]\Rightarrow AB + CD = AD + BC \Leftrightarrow AB + CD = 2r + \sqrt{5}= \frac{4 \sqrt{5} }{5} + \sqrt{5}[/tex]
$$\Rightarrow AB + CD = \frac{9 \sqrt{5} }{5} $$
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.h \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{1}{2} \frac{9 \sqrt{5} }{5}. \frac{4 \sqrt{5} }{5}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{18}{5} = 3,6 cm^{2 } $$

Втора задача:
Щом в трапеца е вписана окръжност с радиус $r$ то височината му е $h = 2r$
[tex]CD = \frac{h}{2} \Rightarrow CD = r[/tex]
Аналогично на първата задача [tex]\triangle BOC[/tex] е правоъгълен, [tex]OT \bot BC , OT = r[/tex]
Нека $AB = x$
т.$M$ и т.$N$ са допирни точки на вписаната окръжност съответно с $AB$ и $CD$.Трапецът е равнобедрен и лесно се доказва,че $M$ и $N$ са среди на $AB$ и $CD$
От свойството на допирателните от външна точка към окръжност имаме:
[tex]MB = BT = \frac{x}{2}, NC = CT = \frac{r}{2}[/tex]
От метричните свойства в правоъгълния триъгълник имаме:
[tex]OT^{2 } = BT.CT \Leftrightarrow r^{2 } = \frac{x}{2}. \frac{r}{2} \Leftrightarrow 4r^{2 }= rx[/tex]
$$\Rightarrow x = 4r$$
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.h \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{4r + r}{2}.2r[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 5 r^{2 } $$