Правилна четириъгълна пирамида

[Гост]

Добър вечер, може ли да помогнете с тази задача от профилирана подготовка?
Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб а и двустенен ъгъл между околна стена и основата [tex]\alpha[/tex]. Намерете повърхнината на пирамидата.

[S.B.]

Добър вечер, може ли да помогнете с тази задача от профилирана подготовка?
Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб а и двустенен ъгъл между околна стена и основата [tex]\alpha[/tex]. Намерете повърхнината на пирамидата.

Без заглавие - 2024-02-25T195626.571.png (278.87 KiB) Прегледано 2334 пъти

За основата $ABCD$ имаме [tex]AC\cap BD = H[/tex]
Пирамидата е правилна [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $M$ се проектира в т.$H$
Построяваш права през т.$H$ успоредна на $AB$ ,която пресича $AD$ и $BC$ съответно в точки $P$ и $Q$
Построяваш през правите $PQ$ и $MH$ равнина ,която пресича пирамидата в сечението $PQM$, което е равнобедрен триъгълник.
За [tex]\triangle PQM[/tex]:
[tex]PQ = a , MH \bot PQ, \Rightarrow HP = HQ = \frac{a}{2} ,\angle MPQ = \angle MQP = \alpha[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle HQM \rightarrow \frac{HQ}{QM} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{ \frac{a}{2} }{QM} = \cos \alpha \Rightarrow QM = \frac{a}{2\cos \alpha }[/tex]
[tex]S_{пълна } = S_{ок } + S_{ABCD } \Leftrightarrow S_{пълна } = \frac{ P_{ABCD }.MQ }{2} + a^{2 } = \frac{4a}{2}. \frac{a}{2\cos \alpha } + a^{2 }= a^{2 }( \frac{1}{\cos \alpha }+ 1 ) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]S_{пълна } = a^{2 }( \frac{1 + \cos \alpha }{\cos \alpha })[/tex]
$$\Rightarrow S_{пълна } = \frac{2 a^{2 } \cos^{2 }2 \alpha }{\cos \alpha }$$

[Гост]

Много Ви благодаря. Спокойна вечер!