Задача, която не мога да реша

[mariq_dobreva]

Здравейте!
Имам проблем с една задача.Моля за помощ.
Да се намерят всички триъгълници с дължини на страните три последователни естествени числа в които единият от ъглите е два пъти по-малък от другия

Според мен тази задача трябва да се реши с прогресия но този материал все още не е изучаван.

Благодаря предварително за съдействието. Лек ден!!!

[L.e.o]

[tex]\frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin2\alpha }=\frac{c}{sin3\alpha }[/tex]

1. ? < 30°, sin3? > sin2?
[tex]b=a+1[/tex]
[tex]c=a+2[/tex]
[tex]\frac{a}{sin\alpha }=\frac{a+1}{sin2\alpha }=\frac{a+2}{sin3\alpha }[/tex]

[tex]\frac{sin2\alpha}{sin\alpha }=\frac{a+1}{a }[/tex] => [tex]cos\alpha = \frac{a+1}{2a }[/tex] => [tex]sin^{2}\alpha = \frac{{3a^{2}-2a-1}}{ 4a^{2}}[/tex]

[tex]\frac{a+2}{a} = \frac{3sin\alpha - 4sin^{3}\alpha }{ sin\alpha } = 3 - 4\frac{{3a^{2}-2a-1}}{ 4a^{2}}[/tex] => a = ±1
a=-1 не е ест.число, а при а=1 нямаме дефиниран триъгълник.

2. ? > 30°, sin3? < sin2?

[tex]\frac{a}{sin\alpha }=\frac{a+2}{sin2\alpha }=\frac{a+1}{sin3\alpha }[/tex]

[tex]\frac{sin2\alpha}{sin\alpha }=\frac{a+2}{a }[/tex] => [tex]cos\alpha = \frac{a+2}{2a }[/tex] => [tex]sin^{2}\alpha = \frac{{3a^{2}-4a-4}}{ 4a^{2}}[/tex]

[tex]\frac{a+1}{a} = \frac{3sin\alpha - 4sin^{3}\alpha }{ sin\alpha } = 3 - 4\frac{{3a^{2}-4a-4}}{ 4a^{2}}[/tex]
[tex]a^{2} - 3a - 4 = 0[/tex] => a = -1, 4 (-1 не е ест.число)
=> Трите страни на триъгълника са 4,5 и 6.

[L.e.o]

Грешно, грешно, грешно...
Ако имаме ъгли ? и 2?, то за да имаме равнобедрен ?, третият ъгъл може да е ? или 2?. Това става при ?=36° и ?=45°
? e (0°, 60°) за да имаме дефиниран ?.

1. Ако ? е (0°,36°), то: sin? < sin2? < sin3?.
[tex]\frac{a}{sin\alpha }=\frac{a+1}{sin2\alpha }=\frac{a+2}{sin3\alpha }[/tex]

2. Ако ? е (36°,45°), то: sin? < sin3? < sin2a.
[tex]\frac{a}{sin\alpha }=\frac{a+2}{sin2\alpha }=\frac{a+1}{sin3\alpha }[/tex]

3.Aко ? е (45°, 60°), то: sin3? < sin? < sin2a
[tex]\frac{a+1}{sin\alpha }=\frac{a+2}{sin2\alpha }=\frac{a}{sin3\alpha }[/tex]

В крайна сметка 1. и 3. не водят до решения, а решението от 2. е страните (4,5,6).