Куб и тетраедър

[Гост]

Честита Баба Марта на всички. Може ли да ударите едно рамо с тези две задачи от стереометрия?

1) ABCDA1B1C1D1 - куб. Намерете cos на ъгъл (AC1;(BDD1B1))

2) ABCD - правилен тетраедър, т.М - център на стената ACD, т.N - среда на ВС. Намерете sin на (ВМ; (AND)).

[Knowledge Greedy]

1) Тъй като [tex]AC\bot BD[/tex] и [tex]AC\bot CC_1 || (BDD_1C_1)[/tex] следва, че [tex]AC\bot (BDD_1C_1)[/tex]

Следователно [tex]\angle (AC_1;(BDD_1C_1))=\angle (AC_1;(CC_1)=\angle AC_1C[/tex]

А косинусът [tex]cos \angle AC_1C = \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex] - от правоъгълния [tex]\triangle AC_1C[/tex]

[Knowledge Greedy]

2) Да означим [tex]\angle (BM; (AND)) = \varphi[/tex]
Тъй като [tex]BC\bot AND[/tex], по лесно ще открием [tex]\angle (BM; BC) = 90^\circ - \varphi[/tex]

Последният ъгъл на практика е [tex]\angle CBM[/tex] в триъгълника [tex]\triangle CBM[/tex],
всички елементи на когото знаем - ръб на тетраедъра [tex]BC=a[/tex], [tex]CM[/tex] = 2/3 от медианата
през върха [tex]C[/tex] в стената [tex](ACD)[/tex] и височината [tex]BM[/tex] към стената [tex](ACD)[/tex] на тетраедъра.

Но тъй като този триъгълник е правоъгълен, можем да минем с директно написване на синуса

[tex]sin \angle CBM = \frac{\frac{a \sqrt{3} }{3}}{a}= \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]

Това ни дава [tex]cos \varphi = \frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex]