Лице на сечение

[Гост]

Здравейте, бихте ли ударили едно рамо с тази задача?

През средите на два съседни околни ръба в правилна четириъгълна пирамида е прекарано сечение, перпендикулярно на основата ѝ. Да се намери лицето на това сечение, ако лицето на диагоналното сечение на пирамидата е Q.

[ammornil]

Screenshot 2024-04-14 235308.png (54.47 KiB) Прегледано 715 пъти

[tex]\\AB=BC=CD=AD; \quad AM=BM=CM=DM; \quad AB\bot{}BC\\ AC\cap BD=E; \quad ME\bot{}p(ABCD)\\S_{BDM}=Q\\ P\in AM, AP=PM; \quad N \in DM, DN=NM; \\ PP_{1}\bot p(ABCD); \quad NN_{1}\bot{}p(ABCD); \\ P_{1}N_{1} \cap AB=F; \quad P_{1}N_{1}\cap CD=K \\ S_{PNKF}=?[/tex]
Нека [tex]AB=a \Rightarrow BD=a\sqrt{2}[/tex].
[tex]S_{BMD}=\frac{1}{2}\cdot{}BD\cdot{}EM \Rightarrow EM=\frac{2\cdot{}Q}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot{}Q}{a}[/tex]
Точките [tex]P_{1}[/tex] и [tex]N_{1}[/tex] принадлежат на [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] респеkтивно (ортогоналните проекции в дадена равнина на точките лежащи на една права, лежат на ортогоналаната проекиция на тази права в равнината). [tex]PN\| AD[/tex] като средна отсечка в [tex]\triangle{AMD} \Rightarrow P_{1}N_{1}\| AD[/tex], защото е ортогонална проекция на [tex]PN \Rightarrow FK\| AD, F\in{AB}, K\in{CD} \Rightarrow FK=AD=а, PN=\frac{a}{2}[/tex].
[tex]\triangle{DN_{1}M}\sim{}\triangle{DEM}, DN=\frac{1}{2}\cdot{}DM \Rightarrow NN_{1}=\frac{1}{2}\cdot{}EM=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}\frac{Q}{a}[/tex]
[tex]NP+KF=a+\frac{a}{2}=\frac{3}{2}\cdot{a}[/tex]
[tex]PN\|FK \Rightarrow PNKF[/tex] е трапец [tex]\\ \Rightarrow S_{PNKF}=\frac{1}{2}\cdot{}(NP+KF)\cdot{}NN_{1}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{3}{2}\cdot{a}\cdot{}\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}\frac{Q}{a}=\frac{3\sqrt{2}}{8}\cdot{}Q[/tex]