Тригонометрия

[Гост]

4sin[tex]\alpha[/tex] + 3tan[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] =? , ако sin[tex]\frac{2}{3}[/tex] и [tex]\alpha \in[/tex](360;450)

[ammornil]

Задачата няма еднозначно решение, защото не е даденa еднозначна дефиниция за [tex]\alpha[/tex].
За стойността на търсения израз можем да кажем, че $$4\sin{\alpha}+3\tg{\frac{\alpha}{2}}=8\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}+\frac{3\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}}=4\sin{\alpha}+\frac{3-3\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}>{0}$$[tex]\\ \cos{\alpha}=\sqrt{1-\sin^{2}{\alpha}}, \quad \cos{\frac{\alpha}{2}}=-\sqrt{1-\sin^{2}{\frac{\alpha}{2}}}[/tex]

[tex]\\ \alpha\in{I\text{кв.}} \Rightarrow \begin{cases} \sin{\alpha} > 0 \\ \cos{\alpha} > 0 \\ \tg{\alpha} > 0 \\ \cotg{\alpha} > 0\end{cases} , \quad \frac{\alpha}{2} \in{III\text{кв.}} \Rightarrow \begin{cases} \sin{\frac{\alpha}{2}} < 0 \\ \cos{\frac{\alpha}{2}} < 0 \\ \tg{\frac{\alpha}{2}} > 0 \\ \cotg{\frac{\alpha}{2}} > 0\end{cases}[/tex]

[antoniy]

Задачата няма еднозначно решение, защото не е даденa еднозначна дефиниция за [tex]\alpha[/tex].
За стойността на търсения израз можем да кажем, че $$4\sin{\alpha}+3\tg{\frac{\alpha}{2}}=8\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}+\frac{3\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}}=4\sin{\alpha}+\frac{3-3\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}>{0}$$[tex]\\ \cos{\alpha}=\sqrt{1-\sin^{2}{\alpha}}, \quad \cos{\frac{\alpha}{2}}=-\sqrt{1-\sin^{2}{\frac{\alpha}{2}}}[/tex]

[tex]\\ \alpha\in{I\text{кв.}} \Rightarrow \begin{cases} \sin{\alpha} > 0 \\ \cos{\alpha} > 0 \\ \tg{\alpha} > 0 \\ \cotg{\alpha} > 0\end{cases} , \quad \frac{\alpha}{2} \in{III\text{кв.}} \Rightarrow \begin{cases} \sin{\frac{\alpha}{2}} < 0 \\ \cos{\frac{\alpha}{2}} < 0 \\ \tg{\frac{\alpha}{2}} > 0 \\ \cotg{\frac{\alpha}{2}} > 0\end{cases}[/tex]

sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex] по условие.

[ammornil]

Написал съм Ви как да пресметнете [tex]\cos{\alpha}=\sqrt{1-\sin^{2}{\alpha}}=\cdots[/tex] и оттам да заместите в израза [tex]4\sin{\alpha}+3\tg{\frac{\alpha}{2}}=4\sin{\alpha}+\frac{3-3\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\cdots[/tex]
Понеже на знаех дали е даден целия ъгъл или половинката, Ви написах и за двете как се намира стойността на израза.