Ъгъл между две равнини

[Гост]

Screenshot_20240531_144025_Chrome.jpg (55.8 KiB) Прегледано 555 пъти

Може ли да ми обясните задачата ?
Наясно съм че се използва формулата лицето на проекцията е равно на косинуса на ъгъла между тях по лицето на другата фигура
Не мога да я реша ще се радвам на помощ и обяснение

[KOPMOPAH]

Правилно си разбрал(а) идеята - намира се лицето на сечението и на проекцията му. Тяхното отношение (проекция към сечение) е косинусът от търсения ъгъл.

[Гост]

Не мога да я реша

[Гост]

Правилно си разбрал(а) идеята - намира се лицето на сечението и на проекцията му. Тяхното отношение (проекция към сечение) е косинусът от търсения ъгъл.

Може ли да ми помогнете с Решението?

[KOPMOPAH]

Правилно си разбрал(а) идеята - намира се лицето на сечението и на проекцията му. Тяхното отношение (проекция към сечение) е косинусът от търсения ъгъл.

Може ли да ми помогнете с Решението?

Мога. Сега правя чертежа.

[Гост]

В две теми я пуснах

Отговорът е 8/корен от 489 .
Ще се радвам да ми я обясните как се решава

[KOPMOPAH]

Куб - сечение 1_4.png (14.9 KiB) Прегледано 415 пъти

Както стана дума

1. Намираме лицето на сечението $MNK$;
2. Намираме лицето на проекцията $M_1BN_1$;
3. Намираме отношението на $M_1BN_1$ и $MNK$.

По първа точка - използваме Херонова формула за лице. Никоя от страните не ни е известна, но ни е известна Питагорова теорема, откъдето $$MK=\sqrt{MB_1^2+KB^2_1}=\sqrt{\frac {16}{25}+\frac 14}=\frac{\sqrt {89}}{10}$$ $$MN=\sqrt{MB_1^2+B_1N^2}=\sqrt{\frac {16}{25}+\frac 1{25}}=\frac{\sqrt {17}}{5}=\frac{2\sqrt {17}}{10}$$ $$KN=\sqrt{NB_1^2+KB^2_1}=\sqrt{\frac {1}{25}+\frac 14}=\frac{\sqrt {29}}{10}$$Получиха се доста криви числа, но такъв е животът. Продължаваме с Херонова формула, където мъката е още по-голяма: $$p=\frac{\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}$$ $$p-a=\frac{\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}-\frac{\sqrt {89}}{10}=\frac{-\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}$$ $$p-b=\frac{\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}-\frac{2\sqrt {17}}{10}=\frac{\sqrt{89}-2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}$$ $$p-c=\frac{\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}-\frac{\sqrt {29}}{10}=\frac{\sqrt{89}+2\sqrt {17}-\sqrt {29}}{20}$$ $$S_{MNK}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}\cdot \frac{-\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}\cdot \frac{\sqrt{89}-2\sqrt {17}+\sqrt {29}}{20}\cdot\frac{\sqrt{89}+2\sqrt {17}-\sqrt {29}}{20}}=$$ $$=\frac 1{400}\sqrt{(\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29})(-\sqrt{89}+2\sqrt {17}+\sqrt {29})(\sqrt{89}-2\sqrt {17}+\sqrt {29})(\sqrt{89}+2\sqrt {17}-\sqrt {29})}=$$ $$=\frac 1{400}\sqrt{\big((2\sqrt {17}+\sqrt {29})^2-89\big)\big(89-(2\sqrt {17}-\sqrt {29})^2\big)}=$$ $$=\frac 1{400}\sqrt{7824}=\frac 1{100}\sqrt{489}$$ $$S_{MNK}=\frac 1{100}\sqrt{489}$$ $$S_{M_1BN_1}=\frac 12\cdot \frac 45\cdot\frac 15=\frac 4{50}$$ И след всичките кръв, пот и сълзи стигаме до $$\frac {S_{M_1BN_1}}{S_{MNK}}=\frac {\displaystyle\frac 4{50}}{\displaystyle\frac 1{100}\sqrt{489}}=\frac 8{\sqrt{489}}$$Добрият тон изисква последният израз да бъде рационализиран и да придобие вида $$\boxed{\frac {8\sqrt{489}}{489}}$$