Компланарни точки в пирамида

[Nifolwight]

Дадена е пирамида с основа - успоредник ABCD, и връх - Q. Да се докаже, че точките A', B', C' и D', лежащи съответно на QA, QB, QC и QD, са компланарни, ако QA : QA' = a, QB : QB' = b, QC : QC' = c, QD : QD' = d и a + c = b + d. (Стр. 10, Зад. 2.2 от "Курс по математика за 11. клас", профилирана подготовка, Боряна Дачева Милкоева)

Сещам се, че например би могло да се докаже едно от следните три, но не знам как точно да го направя:
1) A'C' и B'D' се пресичат
2) A'C' и B'D' са съответно колинеарни с AC и BD
3) Точка от някой околен ръб, за която е изпълнена компланарността, съвпада с дадената точка от същия ръб.

[Гост]

https://www.youtube.com/watch?v=48TfR3X2Tgo това не помага ли?

[ptj]

Трябва да докажеш, че [tex]\vec {C'A'}=\vec{C'D'}+\vec {C'B'}[/tex] (успоредник).

Конкретно в тази задача, равенството [tex]a+c=b+d[/tex] еднозначно определя, че [tex]А'C'[/tex] и [tex]B'D'[/tex] се пресичат и имат обща среда.

Задачата се решава само с вектори.

П.П. Видях (в последствие), че вече има дадено решение (в друг пост), но то е прекалено дълго. За всичко са необходими не повече от 4-5 реда.

[ptj]

Извинявам се за последния си отговор, но всъщност задачата не е вярна.

По-принцип за да са компланарни 4 точки, матрицата образувана от техните координати и добавен вектор стълб от 4 единици трябва да има нулева детерминанта.

Контра пример:

[tex]А(1;1;1), B(1;-1;1),C(-1;-1;1),D(-1;1;1),V(0;0;0)[/tex]

[tex]a=3,b=4,c=2,d=1[/tex]

[tex]A'(3;3;3),B'(4;-4;4),C'(-2;-2;2),D'(-1;1;1)[/tex]

Образуваме детерминантата:

[tex]\begin{vmatrix}
3 & 3 & 3 & 1 \\
4 & -4 & 4 & 1 \\
-2 & -2 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=-40 \ne 0[/tex]

Сл. точките [tex]A',B',C',D'[/tex] не са компланарни.

Aко в горната детерминаната заменим първия, втория и третия ред с техните съответни разлики с четвъртия и после развием детерминантата по 4-тия стълб ще получим естествено като резултат детерминанта от трети ред равна на смесеното произведенина на [tex]\vec {DA},\vec{DB}, \vec{DC}[/tex] (обема на тетраедъра).

https://www.matematika.bg/reshavane-na-zadachi/matrici-kalkulatori.html

П.П. Мога да обясня и по друг начин защо задачата не е вярна:
Нека имаме два триъгълника с еднаква дължина на една от страните.
Да образуваме от всеки от тях нов триъгълник по следния начин : запазваме ъгъла срещу еднаквата страна, а останалите две дължини умножаваме съответно за първия триъгълнкк с [tex]a,c[/tex] , a за втория съответно с [tex]b,d[/tex], като [tex]a+c=b+d[/tex] . Със сигурност можем да твърдим, че в общия случай новополучените страни, които са образи на първоначално равните ще бъдат различни, защото тяхните дължини се задават с косинусова торема, която няма нищо общо с равенството [tex]a+c=b+d[/tex].

Автора на задачата, определено трябва да се върне в първи курс и да прочете, че всички операции над детерминанти, даващи резултат същата детерминанта умножена с число (в частност и 1-ца също) се отнасят само за операции над вектор-редове или вектор-стълбове. И съобразно последното да си формулира условията...