Намерете броя на членовете на геометр. прогр.

[noobnoob234]

7a успях да реша, затова съм я изрязал, б не успях.

[loving_math]

[tex]a_{1 }.q^4- a_{1 }=560[/tex]
[tex]a_{1 }.q^3- a_{1 }.q=168[/tex]

[tex]a_{1 }.(q^4- 1)=560[/tex]
[tex]a_{1 }.q(q^2-1)=168[/tex]

[tex]a_{1 }.(q^2- 1)(q^2+1)=560[/tex]
[tex]a_{1 }.q(q^2-1)=168[/tex]
Раздели почленно двете уравнения като дефинираш допустимите стойности на a1 и q

[tex]\frac{q^2+1}{q } =\frac{560}{ 168}[/tex]
[tex]168q^2-560q+168=0[/tex] [tex]:56[/tex]
[tex]3q^2-10q+3=0[/tex]
Намери стойностите на q, а след това и на a1
После ти остава с третото уравнение да намериш n - броя членове на прогресията
[tex]S_{n }=847=\frac{a_{1 }(1-q^n)}{ 1-q}[/tex]

[baroveca]

[tex]\begin{tabular}{|l}a_{1}q^4-a_1=560\\a_{1}q^3-a_{1}q=168\end{tabular}[/tex]

[tex]\frac{a_{1}(q^2-1)(q^2+1)}{a_1q(q^2+1) } =\frac{10}{3 }[/tex]
[tex]q\ne 0[/tex]

[tex]\frac{q^2+1}{ q} =\frac{10}{3 }[/tex]
[tex]3q^2-10q+3=0[/tex]
[tex]q=3;q=\frac{1}{ 3}[/tex]=>q=3 е решение=>[tex]a_1=7[/tex]

[tex]S_n=\frac{a_{n}q-a_1}{ q-1}[/tex]
[tex]847=\frac{3a_{n}-7}{2 } =>a_{n}=567[/tex]

[tex]a_{n}=an.q^{n-1}[/tex]
[tex]567=7.3^{n-1}[/tex]
[tex]3^{n-1}=3^4[/tex]
n-1=4
n=5
loving_math ме изпревари

[Martin Nikovski]

[tex]\begin{tabular}{|l}a_5-a_1=560\\a_4-a_2=168\\S_n=847 \end{tabular}[/tex]

[tex]a_1[/tex] е първият член на редицата, а [tex]q[/tex] е частното на геометричната прогресия.
Имаме, че [tex]a_5=a_1.q^{5-1}=a_1.q^4[/tex], [tex]a^4=a_1.q^{4-1}=a_1.q^3[/tex] и [tex]a^2=a_1.q^{2-1}=a_1.q[/tex]
Заместваме в първите две уравнения на системата:
[tex]\begin{tabular}{|l}a_1.q^4-a_1=560\\a_1.q^3-a_1.q=168 \end{tabular}\ \Rightarrow\ \begin{tabular}{|l}a_1\left(q^4-1\right)=560\\a_1\left(q^3-q\right)=168 \end{tabular}\ \Rightarrow\ \begin{tabular}{|l}a_1\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)=560\\a_1q\left(q^2-1\right)=168 \end{tabular}[/tex]
[tex]a_1\ne 0,\ q\ne 0,\pm1[/tex]
Разделяме почленно двете уравнения: [tex]\frac{\cancel{a_1}\cancel{\left(q^2-1\right)}\left(q^2+1\right)}{\cancel{a_1}q\cancel{\left(q^2-1\right)} } =\frac{560}{168 }\ \Rightarrow\ \frac{q^2+1}{q }=\frac{10}{3 } \ \Rightarrow\ 3\left(q^2+1\right)=10q\ \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow 3q^2+3=10q\ \Rightarrow\ \3q^2-10q+3=0[/tex]
[tex]D=\left(-5\right)^2-3.3=25-9=16[/tex]
[tex]q=\frac{5+\sqrt{16}}{3} =\frac{5+4}{3 }=3\ \cup\ q=\frac{5-\sqrt{16}}{3} =\frac{5-4}{3 }=\frac{1}{3}[/tex]
От уравнението [tex]a_1q\left(q^2-1\right)=168[/tex] намираме [tex]a_1[/tex].
[tex]a_1.3.\left(3^2-1\right)=168\ \cup\ a_1.\frac{1}{3 }.\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2-1\right)=168[/tex]
[tex]24a_1=168\ \cup\ -\frac{8}{27 }a_1=168[/tex]
[tex]a_1=7\ \cup\ a_1=-567[/tex]
Ако [tex]a_1=-567[/tex], а [tex]q=\frac{1}{3 }[/tex], то сумата от елементите винаги ще е отрицателна, защото всички елементи са отрицателни. Затова изключваме това решение... Остава само [tex]a_1=7,\ q=3[/tex].
Използваме формулата за сума на геометрична прогресия: [tex]S_n=a_1.\frac{q^n-1}{q-1}[/tex]
[tex]S_n=847[/tex]
[tex]7.\frac{3^n-1}{3-1 }=847[/tex]
[tex]\frac{3^n-1}{2 }=121\[/tex]
[tex]3^n-1=242[/tex]
[tex]3^n=243[/tex]
[tex]n=5[/tex]

[noobnoob234]

:thumbsup: Евала и на 3-мата
ако може и 8-ма?

[Martin Nikovski]

Нека първото число е [tex]a_1[/tex], тогава второто е [tex]a_2=a_1.q^{2-1}=a_1.q[/tex], а третото - [tex]a_3=a_1.q^{3-1}=a_1.q^2[/tex].
От условието съставяме система:
[tex]\begin{tabular}{|l}S_3=14\\P_3=64 \end{tabular}\ \Rightarrow\ \begin{tabular}{|l}a_1+a_1.q+a_1.q^2=14\\a_1.a_1.q.a_1.q^2=64 \end{tabular}\ \Rightarrow\ \begin{tabular}{|l}a_1\left(1+q+q^2\right) =14\\a_1^3.q^3=64\ |^{\frac{1}{3}\end{tabular}\ \Rightarrow\ \begin{tabular}{|l}a_1\left(1+q+q^2\right) =14\\a_1q=4\end{tabular}\ \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow\ \begin{tabular}{|l}a_1=\frac{14}{1+q+q^2}\\a_1=\frac{4}{q} \end{tabular}\ \Rightarrow\ \frac{14}{1+q+q^2 }=\frac{4}{q } \ \Rightarrow\ 14q=4+4q+4q^2\ \Rightarrow\ 4q^2-10q+4=0\ /:2[/tex]
[tex]2q^2-5q+2=0[/tex]
[tex]D=\left(-5\right)^2-4.2.2=25-16=9[/tex]
[tex]q=\frac{5+\sqrt9}{2.2 } =\frac{5+3}{4 }=\frac{8}{4 }=2\ \cup\ q=\frac{5-\sqrt9}{2.2 } =\frac{5-3}{4 }=\frac{2}{4 }=\frac{1}{2 }[/tex]
При [tex]q=2[/tex]: [tex]a_1=\frac{4}{q } =\frac{4}{2 }=2,\ a_2=a_1.q=2.2=4,\ a_3=a_1.q^2=2.2^2=8[/tex]
При [tex]q=\frac{1}{2 }[/tex]: [tex]a_1=\frac{4}{q } =\frac{4}{\frac{1}{2 } }=8,\ a_2=a_1.q=8.\frac{1}{2 } =4,\ a_3=a_1.q^2=8.\left(\frac{1}{2 }\right) ^2=2[/tex]
Числата са [tex]2[/tex], [tex]4[/tex] и [tex]8[/tex].

[loving_math]

:thumbsup: Евала и на 3-мата
ако може и 8-ма?

Може
[tex]a_{1 },a_{1 }q,a_{1 }q^2[/tex]това са трите члена на прогресията

[tex]a_{1 }+a_{1 }q+a_{1 }q^2 =14[/tex]
[tex]a_{1 }.a_{1 }q.a_{1 }q^2 =64[/tex]
Нека разгледаме второто уравнение

[tex]a_{1 }^3.q^3 =64[/tex]
[tex](a_{1 }.q)^3 =4^3[/tex]
[tex]a_{1 }.q=4[/tex]
[tex]a_{1 } =\frac{4}{q }[/tex]
Сега се връщаме със заместване в първото уравнение.

[tex]\frac{4}{q } +\frac{4}{ q}. q+\frac{4}{q } .q^2 =14[/tex]
[tex]4+4q+4q^2=14q[/tex]
[tex]4q^2-10q+4=0[/tex]
[tex]q_{1 }=2, q_{2 }=\frac{1}{2 }[/tex]

Намираме и двата възможни първи члена на прогресията.
[tex]a_{1 } =\frac{4}{q } =\frac{4}{2 }=2[/tex] или [tex]a_{1 } =\frac{4}{q } =\frac{4}{\frac{1}{ 2} }=8[/tex]

Тогава двете прогресии са съответно 2,4,8 или 8,4,2
И в двата случая трите търсени числа са 2,4 и 8