Стереометрия - куб

[joy]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Точките M, N и Р са среди съответно на ръбовете AB, BC и DD1. Намерете в какво отношение се дели обемът на куба от равнината, определена от точките M, N и Р.

[L.e.o]

Нека АВ = а (обема на куба е а^3).
АМ=BM=а/2 = BN=NC = PD
▲MBN = ▲NCP2 => CP2 = BM = a/2
▲PDP2 подобен на ▲N1CP2 = > CN1/PD = CP2/(CD+CP2) => CN1/a/2 = a/2/(a+a/2) => CN1 = a/6

Равнината отсича от куба фигурата АМNDCN1PM1.
Нейният обем можем да го разглеждаме като сума от обемите на призмите: V = V1+V2+V3
V1 = АМNCDP
V2 = NCN1P
V3 = MAM1P
V2=V3 (равни страни и тн)

V1 = 1/3(Samncd . PD) = (a^2 - a^2/8) . a/2 = a^3/3 . 7/16
V2 = 1/3(Sncn1 . CD = a^2/24) . a = a^3 /3.24 = V3
V = a^3/3 ( 7/16 + 1/24 + 1/24) = a^3/3 . 25/48 = a^3 . 25/144
Vостатък = Vкуб - V
Vостатък / V = (144-25)/25 = 119/25 = 4.76