Описан четириъгълник

[Гост]

Четириъгълникът ABCD e описан около
окръжност. Пресечната точка на диагоналите му е O. Докажете, че R1 + R3= R2+ R4, където R1, R2, R3, R4 са
радиусите на окръжностите, описани съответно около триъгълниците OAB, OBC, OCD, ODA.

[Гост]

От свойство на описан четириъгълник $AB+CD=BC+AD$

Нека ъгълът между диагоналите е $\varphi$. От Синусова Теорема за съответните триъгълници $R_1=\frac{AB}{2sin\varphi};\ R_2=\frac{BC}{2sin(180^\circ-\varphi)};\ R_3=\frac{CD}{2sin\varphi};\ R_4=\frac{AD}{2sin(180^\circ-\varphi)}$.

$R_1+R_3=\frac{AB+CD}{2sin\varphi}=\frac{BC+AD}{2sin\varphi}=\frac{BC+AD}{2sin(180^\circ-\varphi)}=R_2+R_4$