Медиани в триъгълник

[Гост]

Моля за помощ или поне подсказка как да подходя! Благодаря!

Триъгълник има лице 36. Построен е нов триъгълник, чиито страни са равни на медианите на първия. Да се намери лицето на първия триъгълник.

[ammornil]

Моля за помощ или поне подсказка как да подходя! Благодаря!

Триъгълник има лице 36. Построен е нов триъгълник, чиито страни са равни на медианите на първия. Да се намери лицето на първия триъгълник.

Лицето на първия триъгълник е дадено по условие. Може би имате предвид лицето на втория?

[KOPMOPAH]

Скрит текст: покажи

Винаги съм твърдял, че хубавият чертеж е половин решена задача, а и спестява много писане

Триъгълник от медиани.png (17.89 KiB) Прегледано 510 пъти

Съгласен съм с предположението на колегата по-горе относно това кое лице се търси.

Използваме свойството на медианите да се делят в съотношение $2:1$. Отбелязваме средите на отсечките $AM$, $BM$ и $CM$ съответно с $D$, $E$ и $F$.

Съсредоточаваме вниманието си върху зеления триъгълник $\triangle DMC_1$. Всяка негова страна е равна на $\frac 13$ от медианата, на която е успоредна, следователно лицето му е равно на $\frac 19$ от лицето на триъгълника, съставен от медианите (защо? ).

Всички шарени малки триъгълничета - зеленото, жълтите и червените са равнолицеви (защо?). Лицето на $\triangle ABC$ е съставено от $12$ малки триъгълничета, а лицето на "медианния" триъгълник - от $9$.

Нататък ясно ли е?

[S.B.]

Моля за помощ или поне подсказка как да подходя! Благодаря!

Триъгълник има лице 36. Построен е нов триъгълник, чиито страни са равни на медианите на първия. Да се намери лицето на първия триъгълник.

Още един поглед върху задачата

Нека [tex]\triangle ABC[/tex] има медиани [tex]m_{a }, m_{b }, m_{c }[/tex]
Ще използвам формулата за лице на триъгълник изразено чрез медианите му:
$$S_{ABC } = \frac{1}{3} \sqrt{( m_{a } + m_{b }+ m_{c })( m_{a }+ m_{b } - m_{c })( m_{a } + m_{c } - m_{b })( m_{b }+ m_{c } - m_{a }) }$$
Нека страните на [tex]\triangle MNP[/tex] са медианите на [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]m_{a } + m_{b }+ m_{c } = P_{MNP } = 2p[/tex] ( където $p$ е полупериметъра на [tex]\triangle MNP[/tex])

[tex]m_{a } + m_{b } - m_{c } = (P_{MNP } - m_{c }) - m_{c } = 2p - 2 m_{c } = 2(p - m_{c })[/tex]

[tex]m_{a } + m_{c } - m_{b } = ( P_{MNP } - m_{b }) - m_{b } = 2p - 2 m_{b } = 2(p - m_{b })[/tex]

[tex]m_{b } + m_{c } - m_{a } = ( P_{MNP } - m_{a }) - m_{a } = 2p - 2 m_{a } = 2(p - m_{a })[/tex]

[tex]S_{ABC } = \frac{1}{3} \sqrt{( m_{a } + m_{b } + m_{c })( m_{a }+ m_{b } - m_{c })( m_{a } + m_{c } - m_{b })( m_{b }+ m_{c }- m_{a }) } \Leftrightarrow[/tex]

[tex]36 = \frac{1}{3} \sqrt{2p.2(p- m_{c }).2(p- m_{b } ).2(p - m_{a } )} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]108 = \sqrt{ 2^{4 }.p(p - m_{c })(p - m_{b }) ( p- m_{a }) } \Leftrightarrow[/tex]

[tex]108 = 4 \sqrt{p(p- m_{c })(p- m_{b })(p- m_{a } } \Leftrightarrow[/tex]

[tex]27 = \sqrt{p(p - m_{c } )(p - m_{b })(p - m_{a }) }[/tex]

Според формулата на Херон за лице на триъгълник,която получих в дясно:
$$S_{MNP } = 27$$

[Гост]

Медианен триъгълник-page-001.jpg (188.5 KiB) Прегледано 496 пъти

[Гост]

Screenshot_1.png (42.81 KiB) Прегледано 489 пъти

[ptj]

Харесва ми последния чертеж!

В него идеята е, че тякъв триъгълник може да се получи само с успоредно пренасяне на две от медианите, т.е. ъглите между тях ще се запазят.

Затова лицето на новия триъгълник ще е [tex]S_1= 3.\frac{3}{2}. \frac{S}{6}= \frac{3}{4}S[/tex]

[ptj]

Факте, че трите вектора на медианите образуват триъгълник се доказва много лесно с вектори, като всеки от тях се изрази чрез полусбора на векторите образувани от двете съответни съседни страни ( с общо начало естествено) .

Колкото до самото доказателство за лицето - то също не е трудно, ако се използва векторно произведение:

[tex]S= \big|\vec a х \vec b\big|[/tex]

[tex]S_1=\big|(- \frac{\vec a+ \vec b}{2}) х \frac{\vec b-2\vec a}{2}\big|= \frac{1}{4}\big|(\vec a+\vec b)х(\vec{2a}-\vec b)\big|= \frac{1}{4}\big|(2\vec a^2+2\vec b х \vec a-\vec a х \vec b-\vec b^2)\big|=[/tex]

[tex]= \frac{1}{4}\big|\vec 0-2\vec a х \vec b - \vec а х \vec b- \vec 0 \big |= \frac{3}{4}\big|\vec a х \vec b \big|= \frac{3}{4}S[/tex]