Уравнение на окръжност

[Гост]

Здравейте,
Може ли помощ за следните 2 задачи от уравнение на окръжност (11 клас)?

Задача 1:
Окръжност, чийто център лежи във вътрешността на прав ъгъл, се допира до едното рамо на ъгъла и пресича другото му рамо в точки A и B. Тази окръжност пресича ъглополовящата на ъгъла в точки C и D. Намерете радиуса на окръжността, ако AB=[tex]\sqrt{6}[/tex] и CD=[tex]\sqrt{7}[/tex].

Задача 2:
Радиусът на описаната около остроъгълния триъгълник ABC окръжност е равен на 1, а точката H е ортоцентърът на ABC. Центърът на окръжността, описана около ACH, лежи върху описаната около ABC окръжност. Намерете AC.

[Гост]

Решението на 1 задача, което ми хрумна, е доста дълго за подробно записване, затова ще го споделя само накратко, като се опитам да го обоснова.

Да въведем Декартова координатна система, като вътрешността на дадения прав ъгъл е Първи квадрант. Центърът на окръжността е $O(x_O,y_O)$. Тогава $y_O=R$, понеже окръжността се допира до абсцисната ос. $\Delta ABO$ е равнобедрен - бедрата му са с дължина $R$. Височината му $OO_1$ е с дължина $x_O$. От правоъгълния $\Delta AO_1O\Rightarrow x_O^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2=R^2\Rightarrow x_O^2=R^2-1,5$. Уравнението на окръжността е $(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=R^2$. Изразили сме $x_O$ и $y_O$ чрез $R$, заместваме ги в уравнението на окръжността, разкриваме скобите и получаваме $x^2+y^2-2x\sqrt{R^2-1,5}-2yR+R^2=1,5$

Търсим координатите на точки С и D. Понеже лежат на ъглополовящата, $x_C=y_C$ и $x_D=y_D$. Значи имаме $C(x_C,x_C), D(x_D,x_D)$ и в последното уравнение можем да пишем $x$ вместо $y$. Получава се квадратното уравнение за х: $2x^2-2x\left(\sqrt{R^2-1,5}+R\right)+R^2-1,5=0$. Нека то има корени $x_1$ и $x_2$. Това са абсцисите на срещулежащите върхове на квадрат с диагонал върху ъглополовящата. Дължината на този диагонал по условие е $\sqrt{7}$. Имаме $\sqrt{2}(x_1-x_2)=\sqrt{7}$.

Ако $D$ е дискриминантата на квадратното оравнение $ax^2+bx+c=0$, то $x_1-x_2=\frac{\sqrt{D}}{a}$. За уравнението $2x^2-2x\left(\sqrt{R^2-1,5}+R\right)+R^2-1,5=0$, $x_1-x_2=\frac{\sqrt{4R^2-6+4R^2+8R\sqrt{R^2-1,5}-8R^2+12}}{2}\Rightarrow \sqrt{2}.\sqrt{2R\sqrt{R^2-1,5}+1,5}=\sqrt{7}$

Повдигаме на квадрат: $2\left(1,5+2R\sqrt{R^2-1,5}\right)=7\Rightarrow R\sqrt{R^2-1,5}=1$. Оттук имаме допустими стойности $R\in[\sqrt{1,5},+\infty)$

Отново повдигаме на квадрат: $R^2(R^2-1,5)=1$, $u=R^2 (u\in(1,5;+\infty)) \Rightarrow u^2-1,5u-1=0$. $u_{1,2}=\frac{1,5\pm\sqrt{1,5^2-4.1.(-1)}}{2}$.

$u_1=2, u_2=-\frac{1}{2}$

$u_2<0<1,5$ - не принадлежи на допустимите стойности.

$u_1=2>1,5$ - допустима стойност е.

$R^2=2\Rightarrow R=\sqrt{2}$

$$R=\sqrt{2}$$

Може да съм допуснал техническа грешка, затова няма да е лошо да си я пререшите сам/а.