Намерете лицето на трапеца и големината на ъгъла между диаго

[Гост]

Задача 6 : Трапецът ABCD има основи AB=10, CD=3 и диагонали AC=12, BD=5. Намерете лицето S на трапеца и големината на ъгъла φ между диагоналите му.

[Гост]

Построяваме трапеца ABCD, продължаваме основата AB надясно до точка Е (BE||CD, BE=CD). Понеже BECD e успоредник, EC=BD=5. Eто и чертеж (схематичен):

Трапец.png (31.24 KiB) Прегледано 241 пъти

Разглеждаме триъгълник AEC: AE=AB+BE=10+3=13, AC=12, CE=5: $AC^2+CE^2=144+25=169=13^2=AE^2$.

Получихме, че $AC^2+CE^2=AE^2$, следователно съгласно Обратната Питагорова Теорема ъгъл ACE=90 градуса.

$S_{ACE}=\frac{AC.CE}{2}=\frac{12.5}{2}=30$

$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CC_1$

$S_{AEC}=\frac{AE.CC_1}{2}=\frac{AB+BE}{2}\cdot CC_1=\frac{AB+CD}{2}\cdot CC_1=S_{ABCD}$

Следователно $S_{ABCD}=30$

$BD||CE\Rightarrow \angle(AC,BD)=\angle(AC,CE)=90^\circ$

$S_{ABCD}=\frac{AC+BD}{2}\cdot sin\angle(AC,BD)=\frac{12.5}{2}\cdot sin\angle(AC,BD)=30\cdot sin\angle(AC,BD)$

Оттук отново получаваме, че $\angle(AC,BD)=90^\circ$

[S.B.]

Задача 6 : Трапецът ABCD има основи AB=10, CD=3 и диагонали AC=12, BD=5. Намерете лицето S на трапеца и големината на ъгъла φ между диагоналите му.

Без заглавие - 2025-02-27T094840.328.png (210.41 KiB) Прегледано 219 пъти

И още един поглед върху задачата:
Подлагам диагонала $BD$ на транслация с вектор[tex]\vec{DC}[/tex], при която [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow B_{1 }[/tex]
[tex]\angle ACB = \angle AOB = \varphi , B B_{1 } = DC = 3,A B_{1 } = AB + B B_{1 }= 10 + 3, B_{1 }C = BD = 5 \Rightarrow S_{ABCD } = S_{A B_{1 } C}[/tex] (ЗАЩО?)
За [tex]\triangle A B_{1 }C[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{ A B_{1 } ^{2 } - AC^{2 } - B_{1 }C ^{2 } }{- 2.AC. B_{1 }C } \Leftrightarrow cos \varphi = \frac{169 - 144 - 25}{-12.5} = 0[/tex]
[tex]\cos \varphi = 0 \Rightarrow \varphi = 90 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle AOB = 90 ^\circ $$
[tex]S_{ \triangle A B_{1 }C }= \frac{AC. B_{1 }C }{2} \Leftrightarrow S_{ \triangle A B_{1 }C } = \frac{12.5}{2} = 30[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 30$$