Три числа, чийто сбор е 78 образуват геометрична прогресия..

[noobnoob234]

Три числа, чийто сбор е 78 образуват геометрична прогресия. Те са същевременно първи, трети и девети членове на аритметична прогресия. Намерете числата

[L.e.o]

1)a + aq + aqq = 78 = a(q^2 +q +1)
2)aq=a+2d (първи член на геом.пр е 3ти на арит.пр.)
3)aqq = a +8d (втори член на геом.пр е 9ти на арит.пр.)
Умножаваме 2) по 4 и го изваждаме от 3):
aqq - 4aq = a -4a
q^2 - 4q +3 =0
q=1,3 => a=26,6 => (26,26,26) и (6,18, 54)

[Martin Nikovski]

Нека числата са [tex]a,\ b[/tex] и [tex]c[/tex].
Щом те са съответно първи, трети и девети членове на АП, то [tex]b=a+2d[/tex], а [tex]c=a+8d[/tex].
От свойството на ГП имаме, че [tex]b^2=ac\ \Rightarrow\ \left(a+2d\right)^2=a\left(a+8d\right)[/tex]
[tex]\cancel{a^2}+4ad+4d^2=\cancel{a^2}+8ad\ \Rightarrow\ 4d^2-4ad=0\ /:4d\left(d\ne 0\right)*\ \Rightarrow\ \fbox{d=a}[/tex]
По условие имаме, че [tex]a+b+c=78\ \Rightarrow\ a+a+2d+a+8d=78\ \Rightarrow\ \fbox{3a+10d=78}[/tex]
Заместваме с [tex]d=a[/tex]:
[tex]3a+10a=78\ \Rightarrow\ 13a=78\ \Rightarrow\ a=6[/tex]
Оттук [tex]d=a=6[/tex].
[tex]b=a+2d=6+2.6=18[/tex]
[tex]c=a+8d=6+8.6=54[/tex]
Числата са [tex]6,\ 18[/tex] и [tex]54[/tex].
* Пропускам варианта, при който [tex]d=0[/tex], [tex]q=1[/tex] (той обикновено не се разглежда)... Ако все пак ти трябва и той, тогава числата са [tex]26,\ 26[/tex] и [tex]26[/tex].