Лице на трапец

[Гост]

Да се намери лицето на трапец с диагонали 13см и 15см и разстояние между средите на основите 7 см.

[peyo]

Да се намери лицето на трапец с диагонали 13см и 15см и разстояние между средите на основите 7 см.

Да решим задачата със супер точно построение в геогебра:

Screenshot 2025-05-08 175930.jpg (116.65 KiB) Прегледано 200 пъти

[Darina73]

ABCD - трапец ( AB||CD ) AC =13 см. ,BD =15 см.
т.М -среда на AB и т.N -среда на CD ; MN =7 см.
[tex]S_{ABCD }[/tex]= ?

Да построим успоредник EACN (т.Е лежи на правата АВ) и успоредник BFND (т.F лежи на правата АВ)
EN[tex]\cap[/tex]AD = т.[tex]A_{1 }[/tex] и FN[tex]\cap[/tex]BC= т.[tex]B_{1 }[/tex]
[tex]\triangle[/tex]EA[tex]A_{1 } \cong \triangle[/tex]ND[tex]A_{1 }[/tex] (2 признак) и [tex]\triangle[/tex]BF[tex]B_{1 } \cong \triangle[/tex]CN[tex]B_{1 }[/tex] (2 признак)

Тогава [tex]S_{ A_{1 }ND }[/tex]=[tex]S_{EA A_{1 } }[/tex] и [tex]S_{ B_{1 }CN }[/tex] =[tex]S_{BF B_{1 } }[/tex] ,което означава ,че
[tex]S_{ABCD } = S_{EFN }[/tex] (1)

Скрит текст: покажи

От трапеца изрязваме двата сини тр-ци и ги поставяме на мястото на червените тр-ци .
Така трапеца го превръщаме в триъгълник .

В построения [tex]\triangle[/tex]EFN -т.М се явява среда на EF т.е. NM е медиана в [tex]\triangle[/tex]EFN [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]NM^{2 }= \frac{2 FN^{2 } +2 EN^{2 } - EF^{2 } }{4}[/tex]

49= [tex]\frac{2.225 +2.169 - EF^{2 } }{4}[/tex] получаваме EF=4[tex]\sqrt{37}[/tex] см. (2)

Чрез Херонова формула намираме лицето на [tex]\triangle[/tex]EFN е 84 [tex]см.^{2 }[/tex]

[tex]S_{ABCD } = S_{EFN }[/tex] (виж (1)) =84 [tex]см.^{2 }[/tex]

[S.B.]

Да се намери лицето на трапец с диагонали 13см и 15см и разстояние между средите на основите 7 см.

Без заглавие - 2025-05-09T074014.914.png (287.84 KiB) Прегледано 160 пъти

Още един поглед върху задачата:
Нека $AB = a, CD = b ,AC = 13,BD = 15 , MN = 7$ където $M$ и $N$ са среди съответно на $AB$ и $CD$
Подлагам на транслация с вектор[tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$ при което [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow B_{1 }[/tex]
[tex]\triangle A B_{1 } C[/tex], с основа [tex]A B_{1 } = a + b[/tex] е равнолицев на трапеца $ABCD$

Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{NC}[/tex] отсечката $MN$ свързваща средите на основите,при което[tex]N\rightarrow C, M \rightarrow M_{1 }[/tex]
[tex]A M_{1 } = AM + M M_{1 } \Leftrightarrow AM = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a + b}{2} \Rightarrow C M_{1 }[/tex] е медиана в [tex]\triangle A B_{1 }C[/tex]
Продължавам [tex]C M_{1 }[/tex] до т.[tex]M_{2 }[/tex],така,че [tex]C M_{1 }= M_{1 } M_{2 }[/tex]
[tex]\triangle A M_{1 }C \cong \triangle M_{1 } M_{2 } B_{1 }[/tex] (първи признак)[tex]\Rightarrow S_{AM_{1 }C } = S_{ M_{1 } M_{2 } B_{1 } } \Rightarrow S_{A B_{1 }C } = S_{C M_{2 } B_{1 } }[/tex]
За [tex]\triangle C M_{2 } B_{1 }[/tex] имаме:
[tex]C M_{2 } = 14, C B_{1 } = 15, B_{1 } M_{2 } = 13[/tex] и по формулата на Херон получаваме [tex]S_{C M_{2 } B_{1 } } = 84 cm^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 84cm^{2 }$$