През точка, нележаща на дадена равнина, постройте права

[Georgi Paskalev]

Моля за подробни решения.
1. През точка, нележаща на дадена равнина, постройте права, успоредна на равнината. Колко такива прави има?
2. Дадени са равнина алфа, права а € алфа и точка М € алфа. Постройте, ако съществува, права през М, успоредна на алфа, но не успоредна на а.
3. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 и равнината алфа, определена от точките А, В и С1. Определете взаимното положение на алфа и правата:
a) A1B1;
б) МК, където М е среда на ВС, а К среда на CD;
в) NP, където N е среда на DD1, и Р е среда на СС1.
4. Даден е куб ABCDA1B1C1D1, равнината алфа, определена от точките А, В и С1, и права МК, където М € AD1, К € CD1 и АМ : MD1 = СК : KD1= k.
Определете взаимното положение на М К и алфа. Намерете отношението МК :
DB.
5. Дадена е права тригълна призма АВСА1В1С1. Точка К € АА1, а точка
М є ВВ1, като АК : КА1 = В1М : МВ = 1 : 4. Равнина алфа = (М, С1, Т) е
успоредна на правата ВК и Т € АА1. Намерете отношенията КТ : АА1 и КВ : ТО, където точка О = МТ[tex]\cap[/tex](пресечена) АВ.

[ammornil]

Добре дошли в сайта. Имайте в предвид, че "спешно" няма да Ви даде по-бързо решение. Тук всички участваме във форума когато и колкото можем. Надявам се да намерите каквото Ви е нужно.

1. През точка, нележаща на дадена равнина, постройте права, успоредна на равнината. Колко такива прави има?
През точка, нележаща на дадена равнина, минава точно една равнина, упоредна на дадената. В успоредната на дадената равнина през дадената точка минават безброй много прави, и всички са успоредни на дадената равнина.

2. Дадени са равнина алфа, права а € алфа и точка М € алфа. Постройте, ако съществува, права през М, успоредна на алфа, но не успоредна на а.
Ако правата и точката принадлежат на равнината (точката не принадлежи на правата) то те определят единствено и само тази равнина, и няма друга равнина, минаваща през точката (или през правата), която да е успоредна на дадената, защото по дефинията успоредните равнини нямат общи елементи, тоест нямат общи точки.
Ако точката е от правата, и правата е от равнината, то отново няма друга равнина, която да минава през точката и да е успоредна на правата, защото по дефинията успоредните равнини нямат общи елементи, тоест нямат общи точки.

3. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 и равнината алфа, определена от точките А, В и С1. Определете взаимното положение на алфа и правата:$\\[6pt]$

Screenshot 2025-05-16 152818.png (54.1 KiB) Прегледано 247 пъти

$\\[6pt]$На чертеа е показан паралелепипед за да се види по-добре разположението на равнината и изследваните отсечки. Кубът е частен случай на паралелепипеда, затова твърденията остават верни.
a) A1B1: $\begin{cases} A_{1}B_{1}\|AB \\A_{1}B_{1}\| D_{1}C_{1} \end{cases} \Rightarrow A_{1}B_{1}\|p(ABC_{1}D_{1})$
б) МК, където М е среда на ВС, а К среда на CD: $MK\cap{AB\vec{\hspace{0.6em}}} \Rightarrow MK$ пробожда $p(ABC_{1}D_{1}), \because{\begin{cases} AB\in{p(ABCD)} \\ MK\in{p(ABCD)} \\ MK\not\| AB \end{cases}}$
в) NP, където N е среда на DD1, и Р е среда на СС1: $\begin{cases} NP\|AB \\ NP\| D_{1}C_{1} \end{cases} \Rightarrow NP\|p(ABC_{1}D_{1})$


4. Даден е куб ABCDA1B1C1D1, равнината алфа, определена от точките А, В и С1, и права МК, където М € AD1, К € CD1 и АМ : MD1 = СК : KD1= k. Определете взаимното положение на М К и алфа. Намерете отношението МК:DB.$\\[6pt]$

Screenshot 2025-05-16 155310.png (36.75 KiB) Прегледано 247 пъти

$\\[6pt] MK$ пробожда $\alpha$ в точката $M \quad \because{\begin{cases} AD_{1}\in\alpha \\ M\in{AD_{1}} \end{cases}} \\[6pt] MD_{1}=x \Rightarrow AM=kx \Rightarrow AD_{1}=(1+k)x \\[6pt] KD_{1}=y \Rightarrow CK= ky \Rightarrow KD_{1}=(1+k)y \\[6pt] \dfrac{D_{1}M}{D_{1}A}= \dfrac{D_{1}K}{D_{1}C}=\dfrac{1}{k+1} \Rightarrow AC=(1+k)MK \\[6pt] AD_{1}=AC \Rightarrow \dfrac{MK}{DB}=\dfrac{1}{1+k}$