Геометрия - лицето на успоредника , ако <А=60, МА = 6

[Гост]

Имам нужда от помощ с тази задачи . Стигам до някъде и не мога да продължа

Зад 1 . Точката М е средата на страната CD на успоредника ABCD. Намерете лицето на успоредника , ако <А=60[tex]^\circ[/tex] , МА = 6см и МB=4 см.

Зад 2. Даден е трапец с основи 10 см и2 см, в който може да ce впише окръжност и около който може да се опише окръжност. Намерете радиусите на тези две окръжности.

Зад 3.Равнобедрен трапец АВСД (АВ| СД, АВ> СД)е описан около окръжност. Периметърът на трапеца е 16 ст, а диагоналът му -5 см. Намерете лицето на трапеца и радиусите на вписаната и описаната окръжности.

Зад4. Трапецьт АВСД има основи АВ=2 СД=10 бедра АD=ВС= 13[tex]\sqrt{2}[/tex] .Намерете радиуса на описаната около трапеца окръжност.

Зад5. Основите на равнобедрен трапец са 10 и 4 . В трапеца може да се впише окръжност. Намерете радиуса на вписаната и радиуса на описана окръжност.

Зад6. : Четириъгълникът ABCD със страни AB=4 см , BC=6 см , CD = 5 см и диагонал BD=5 см е описан около окръжност . Намерете лицето на ABCD и радиуса на тази окръжност.

Моля Ви да ми помогнете да ги реша. Готвя се за класно и е възможно да има подобни .

[Гост]

Решение на 1 задача: Нека Е е средата на АВ. Тогава лесно се вижда, че 1)AEMD и EBCM са равнолицеви успоредници. 2) ED=MB=4см [tex]\Rightarrow[/tex]Ако намерим лицето на успоредник с ъгли 60 и 120 градуса и диагонали 4 и 6 см, сме готови. Нека AD=a и DM=b. Нека F и G са петите на перпендикулярите от съответно A към правата DM и от D към правата AB. Директно се пресмята, че: FD=AG=[tex]\frac{1}{2}[/tex]a AF=DG=[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]a. Тогава FM=[tex]\frac{1}{2}[/tex]a+b и GE=b-[tex]\frac{1}{2}[/tex]a или [tex]\frac{1}{2}[/tex]a-b (Зависи дали G е вътрешна за отсечката AE, ама това не променя крайния резултат). От Питагорови теореми за AFM и DGE, имаме:
[tex](a \frac{ \sqrt{3} }{2} )^{2 }[/tex]+[tex]( \frac{a}{2} +b)^{2 }[/tex]=[tex]6^{2 }[/tex]
[tex](a \frac{ \sqrt{3} }{2} )^{2 }[/tex]+[tex]( \frac{a}{2} -b)^{2 }[/tex]=[tex]4^{2 }[/tex]
Вадейки почленно 2те равенства, получаваме:
2ab=20[tex]\Rightarrow[/tex]ab=10. Но лицето на AEMD е AE*DG=b*a[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]=5[tex]\sqrt{3}[/tex]
Тогава лицето на оригиналния успоредник е удвоената стойност на лицето на АЕМD или 10[tex]\sqrt{3}[/tex]

[Darina73]

зад. 6 ABCD описан около окръжност [tex]\Rightarrow[/tex] AB+CD=AD+BC ;4+5=AD+6 ;AD=3 см.
[tex]\triangle[/tex]ABD е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]BAD=90[tex]^\circ[/tex] ,защото [tex]3^{2 } +4^{2 } =5^{2 }[/tex]
Нека т.М е среда на страната ВС .
В равнобедрения [tex]\triangle[/tex]BCD медианата DМ е също и височина т.е.
[tex]\triangle[/tex]BMD е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]BMD=90[tex]^\circ[/tex]

Интересно е ,че [tex]\triangle[/tex]BMD е правоъг. със страни 3 ,4 ,5 см.
[tex]\triangle[/tex]DMC също е правоъг. със страни 3 ,4 ,5 см.

Тогава ABCD е правоъгълен трапец (AD||BC) ,който се състои от 3 еднакви правоъгълни триъгълника .
[tex]S_{ABCD } =3 S_{ABD }= 3. \frac{AB.AD}{2} =3. \frac{4.3}{2}[/tex] =18 [tex]см.^{2 }[/tex]
Окръжността е вписана в правоъг. трапец ABCD [tex]\Rightarrow[/tex] r =[tex]\frac{h}{2} =\frac{AB}{2}[/tex]=2 см.

[ptj]

2-ра:
Всеки вписан в окръжност трапец е равнобедрен. Естествено в равнобедрения трапец симетралата на двете основи е обща (трапеца е симетричен спрямо нея). Тогава по теоремата за равенството на външните допирателни (използваш вписаната окръжност) намираш, че бедрата на трапеца са дължини 1+5=6.
Спусни височината от край на малка основа към голяма и приложи Питагорова теорема за получения триъгълник.

[tex]h=\sqrt{6^2- \bigg(\frac{10-2}{2}\bigg)^2 }=2 \sqrt{5}[/tex]

[tex]S= \frac{a+b}{2}.h= \frac{10+2}{2}.2 \sqrt{5}=12 \sqrt{5}[/tex]

[tex]S= p.r[/tex] , където с [tex]p[/tex] е означен полупериметъра на трапеца.

[tex]12 \sqrt{5}= \frac{10+2+6+6}{2}.r \Rightarrow r= \sqrt{5}[/tex]

-------------------------------------------------------------------------
За 3-та се използват същите идеи като във 2-ра, но на практика е доста по-трудна технически заради използването на система и радикали. Не вярвам да ви дадат подобна на нея за класна...

Означаваш двете основи с [tex]a>b[/tex].

Използвайки периметъра и факта, че трапеца е описан около окръжност намираш че двете бедра са по 4 и

[tex]a+b=8[/tex]

[tex]h= \sqrt{4^2- \bigg(\frac{a-b}{2}\bigg)^2 }= \sqrt{16-(4-b)^2}= \sqrt{-b^2+8b}[/tex]

Питагорова теорема за да намерим диагонала:

[tex]d^2=\bigg(a- \frac{a-b}{2}\bigg)^2+h^2=\bigg( \frac{a+b}{2}\bigg)^2+(-b^2+8b)=16 -b^2+8b=25[/tex]

[tex]b^2-8b+9=0[/tex]

[tex]b=4- \sqrt{7}[/tex], [tex]a=4+ \sqrt{7}[/tex]

[tex]h= \sqrt{(-16-7+8 \sqrt{7})+(32-8 \sqrt{7}) }= \sqrt{9}=3[/tex]

[tex]S= \frac{a+b}{2}.h=4.3=12[/tex]

[tex]S=p.r=8r[/tex]

[tex]r= \frac{3}{2}[/tex]

За намиране радиуса на описаната окръжност ще използваме формулата за лице на триъгълник [tex]S_ \triangle = \frac{abc}{4R}[/tex].

[tex]S_{ABC}= \frac{1}{2}AB.h= \frac{1}{2}(4+ \sqrt{7}).3[/tex]

[tex]S_{ABC}= \frac{(4+ \sqrt{7)}.4.5 }{4R}[/tex]

[tex]R= \frac{10}{3}[/tex]