Намерете отношението между обемите на правилните тетраедри

[Georgi Paskalev]

6.Намерете отношението между обемите на правилните тетраедри, от които единият е вписан в сфера, а другият е описан около нея.
7. В сфера е вписан правилен тетраедър, а в него е вписана друга сфера.
Намерете отношението на лицата на повърхнините на двете сфери.
8. В правилна четириъгълна пирамида центровете на вписаната и на описаната сфера съвпадат. Намерете косинуса на двустенния ъгъл при основата на пирамидата.
9. Основните ръбове на правилна четириъгълна пресечена пирамида са 7 и 1. Околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл 45°. Намерете радиуса на описаната около пресечената пирамида сфера.
10. Намерете радиуса на описаната около правилна шестоъгълна пресечена пирамида сфера, ако основните й ръбове са 3 и 4, а височината й е 7.

[KOPMOPAH]

Описана и вписана сфера.png (33.15 KiB) Прегледано 199 пъти

Трябва да намериш зависимостта между ръба на тетраедъра, радиуса на вписаната и описаната сфера.

Приемаме, че ръбът на тетраедъра е $a$.

Формулите са:

Височина $H=DH$ - намира се от Питагорова теорема за $\triangle DHB$, $HB=\frac 23 a\sqrt 3$, $DH=\sqrt{BD^2-HB^2}\Rightarrow DH=\sqrt{a^2-\left(\frac 23 a\sqrt 3\right)^2}=\cdots=\boxed{\frac {a\sqrt 6}3}$
Обем $V=\frac 13\cdot a^2\frac {\sqrt 3}4\cdot \frac {a\sqrt 6}3=\cdots=\boxed{a^3\frac {\sqrt 2}{12}}$

Пълна повърхнина $S=4\cdot a^2\frac {\sqrt 3}4=\boxed{a^2\sqrt 3}$
Радиусът $r=OH$ на вписаната сфера се получава, като се раздели обемът на тетраедъра на пълната повърхнина - $r=\frac{a^3\frac {\sqrt 2}{12}}{a^2\sqrt 3}=\boxed{\frac {a\sqrt 6}{12}}$
Радиусът $R=OB$ на описаната сфера се получава от Питагорова теорема за $\triangle BOH$,
$OB=\sqrt{OH^2+HB^2}\Rightarrow DH=\sqrt{\left(\frac {a\sqrt 6}{12}\right)^2+\left(\frac 23 a\sqrt 3\right)^2}=\cdots=\boxed{\frac {a\sqrt 6}4}$

Получихме, че радиусът на описаната сфера е три пъти по-голям от радиуса на вписаната.

Оттук следва, че ръбовете на вписания и описания тетраедър също се отнасят така, т.е. линейните елементи са в отношение $1:3$, повърхнините - съответно $1:3^2$, а обемите - $1:3^3$

Това ти стига, за да решиш задачи $6$ и $7$.
Не пиша подробно, за да си зададеш въпроса какво се случва и защо.

Успех!

[ptj]

Според мен си писал даже прекалено много.

Можеше да споменеш само, че центровете на описани и вписана сфера при правилен тераедър заради симетриите съвпадат с центъра на тежестта на сферата.

Тогава от сътветното векторно равенство : [tex]\vec {MА}= \frac{1}{4}(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD})[/tex].

Разписвайки горното за случая когато [tex]М[/tex] е медицентър на [tex]\triangle ABC[/tex], веднага може да намерим, че съотношение за радиусите е 3:1.