Благодаря много за помощта. Реших всичко освен последните 2

[Ivan Vratilov]

Може ли чертеж за тях, защото не мога да си го представя.

1.Основните ръбове на правилна четириъгълна пресечена пирамида са 7 и 1. Околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл 45°. Намерете радиуса на описаната около пресечената пирамида сфера.
2.Намерете радиуса на описаната около правилна шестоъгълна пресечена пирамида сфера, ако основните й ръбове са 3 и 4, а височината й е 7.

[ptj]

Задачата е елементарна:

Нека пирамидата е [tex]ABCDM[/tex], а пресечената точка на диагоналите в основата е [tex]O[/tex].

При правилна пирамида околните ръбове са равни, а върха се проектира в центъра на основата (т.[tex]O[/tex]).

Центъра на основата при правилна четириъгълна пирамида е пресечената точка на диагоналите, а самата основа е правоъгълник.

Тогава всички точки, намиращи се на правата определена от неговата височина са равноотдалечени от върховете в основата.

Остава да намерим само коя от тях е център на описаната сфера.

Да разгледаме сечение на пирамидата с равнината, определена от два срещуполжни върха в основата и върха на пирамидата, например [tex]ACM[/tex].

Равнината [tex](ACM)[/tex] е перпендикулярна на основата, защото съдържа перпендикуляра (към основата) [tex]OM[/tex].

Тогава съгласно условието [tex]\angle CAM=\angle ACM=45 ^\circ[/tex], сл. [tex]\angle AMC=90 ^\circ[/tex].

Знаем, че при правоъгълен тригълник средата на хипотенизата е равноотдалечена от неговите върхове, сл. [tex]т.O[/tex] се явява център на описаната сфера за пирамидата [tex]ABCDM[/tex].

[tex]R=OA= \frac{1}{2} AC= \frac{1}{2} \sqrt{AB^2+BC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{7^2+1^2}= \frac{ \sqrt{50} }{2}= \frac{5 \sqrt{2} }{2}[/tex]

П.П. Втората задача е с подобна идея. Иска се да намериш радиуса на описаната окръжност около равнобедрен трапец с основи 6 и 8 и височина 7.

Може да използваш формулата за лице на триъгълник [tex]S=\frac{abc}{4R}[/tex], но първо трябва да намериш диагонала на трапеца.

Друг възможен вариант е синусова теорема.