Модулно показателно уравнение

[Гост]

Моля за помощ!
Да се реши уравнението

[tex]| 3^{x } -1 | + | 3^{x } - 3| = 2[/tex]

[peyo]

Моля за помощ!
Да се реши уравнението

[tex]| 3^{x } -1 | + | 3^{x } - 3| = 2[/tex]

Явно 1 е решение и над 1 няма решения.

Когато x е от 0 до 1:
[tex]3^{x } -1 -3^{x } + 3 = 2[/tex]
$2=2$

Всичко е решение.

Когато x е по-малко от 0:
[tex]-3^{x } +1 -3^{x } + 3 = 2[/tex]
[tex]-2 . 3^{x } + 4 = 2[/tex]
[tex]3^{x } = 1[/tex]

Само 0 е решение.

Figure_23421.png (15.46 KiB) Прегледано 347 пъти

[S.B.]

Моля за помощ!
Да се реши уравнението

[tex]| 3^{x } -1 | + | 3^{x } - 3| = 2[/tex]

$$| 3^{x } - 1| + | 3^{x } - 3 = 2 $$

ДМ: [tex]x \in ( - \infty; + \infty[/tex]
[tex]| 3^{x } - 1| = 0 \Rightarrow x = 0[/tex]
[tex]3^{x } - 3 = 0 \Rightarrow x = 1[/tex]
По този начин дефиниционното множество се разделя на $3$ подмножества и ще трябва уравнението да разгледаме над всяко от тях:
ДМ1: [tex]x \in (- \infty ; 0][/tex]
ДМ2: [tex]x \in (0 ; 1][/tex]
ДМ3: [tex]x \in (1 ; + \infty )[/tex]

1)
[tex]\begin{array}{|l} x \in (- \infty ; 0]\\ | 3^{x } - 1| + | 3^{x } - 3| = 2 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]-( 3^{x }- 1) - ( 3^{x } - 3) = 2 \Leftrightarrow - 3^{x } + 1 - 3^{x } + 3 = 2 \Leftrightarrow - 3^{x }+ 1 - 3^{x }+ 3 = 2 \Leftrightarrow 2. 3^{x } = 2 \Leftrightarrow 3^{x } = 1[/tex]
$$\Rightarrow x = 0 \in (- \infty ;0]$$

2)
[tex]\begin{array}{|l} x \in (0 ; 1] \\ | 3^{x} - 1|+| 3^{x }- 3| = 2 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]( 3^{x } -1) - ( 3^{x } - 3) = 2 \Leftrightarrow 3^{x } - 1 - 3^{x } + 3 = 2 \Leftrightarrow 2 = 2[/tex]
$$\Rightarrow \forall x \in (0;1]$$

3)
[tex]\begin{array}{|l} x \in (1;+ \infty) \\ | 3^{x } - 1| + | 3^{x } - 3| = 2 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]
[tex](3^{x } - 1) + ( 3^{x }- 3) = 2 \Leftrightarrow 2. 3^{x } - 4 = 2 \Leftrightarrow 3^{x } = 3 \Rightarrow x = 1 \notin (1 ;+ \infty )[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] в този подинтервал уравнението няма решения.

Получихме :
за [tex]x\in (- \infty ;0] ,x = 0[/tex] и [tex]\forall x \in (0;1] \Rightarrow[/tex] решенията са:
$$\forall x \in [0;1]$$

[Гост]

Да този е отговорът.Благодаря!