Равнобедрен трапец

[Гост]

Моля за помощ!
В равнобедрен трапец дължината на диагонала е равна на дължината на голямата му основа,а бедрото има дължина $m$ и се вижда от нележащите на него върхове под ъгъл с големина [tex]30 ^\circ[/tex].Да се намери лицето на трапеца.Да се докаже,че бедрото на трапеца е средно пропорционално на голямата му основа и разликата между двете основи.

[ammornil]

Можете ли да намерите решение от чертежа и подсказката по-долу?$\\[12pt]$

Screenshot 2026-04-03 133752.png (19.57 KiB) Прегледано 126 пъти

$\\[12pt] AB=AC=BD= x, \quad CD= y, \quad \text{ДМ}: x > y \\[6pt] \triangle{BAC} \quad $ Кос. т-ма $\quad BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 \cdot{AB} \cdot{AC} \cdot{\cos{\angle{BAC}}} \\ \Rightarrow m^{2}= x^{2} +x^{2} -2 \cdot{x} \cdot{x} \cdot{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \rightarrow x= \cdots \\[12pt] \triangle{BDC} \quad $ Кос. т-ма $\quad BC^{2} = BD^{2} +CD^{2} - 2 \cdot{BD} \cdot{CD} \cdot{\cos{\angle{BDC}}} \\ \Rightarrow m^{2}= x^{2} +y^{2} -2 \cdot{x} \cdot{y} \cdot{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \rightarrow y_{1,2}=\cdots \\[6pt] $ Като намерите $x$ и $y$ можете да проверите (докажете), че $$ m=\dfrac{x+(x-y)}{2} \quad \Leftrightarrow \quad m= x -\dfrac{y}{2}$$

[Гост]

Какво да проверя?!Търси се лицето на трапеца и трябва да се докаже,че бедрото е средно пропорционално на голямата основа и разликата на двете основни.

[KOPMOPAH]

Какво да проверя?!

Например, че предпоследният израз, който колегата е написал, дава връзката между бедрото, разликата на основите и голямата основа. В случая зад понятието "средно пропорционално" се крие така известното средно аритметично.
Що се отнася до лицето, то може да бъде намерено по много начини, когато се съобрази, че лицето на трапеца е сума от лицата на два триъгълника, а за тях има Херонова формула, формула за лице на триъгълник по две страни и синус от ъгъла между тях и др. Важното е да се намери какво стои зад многоточията в изразите за $x$ и $y$.

[S.B.]

Моля за помощ!
В равнобедрен трапец дължината на диагонала е равна на дължината на голямата му основа,а бедрото има дължина $m$ и се вижда от нележащите на него върхове под ъгъл с големина [tex]30 ^\circ[/tex].Да се намери лицето на трапеца.Да се докаже,че бедрото на трапеца е средно пропорционално на голямата му основа и разликата между двете основи.

Без заглавие - 2026-04-03T171834.191.png (252.63 KiB) Прегледано 110 пъти

Още един поглед върху задачата:
Нека означим $AB = BD =a, CD = b$
Бедрото $AD$ се вижда от върховете $B$ и $C$ под ъгъл [tex]30^\circ \Rightarrow \triangle ABD[/tex] е равнобедрен с ъгъл при върха $B$ [tex]\angle ABD =30 ^\circ , \angle DAB = \angle ADB = 75 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{BD}{\sin \angle BAD } = \frac{AD}{\sin \angle ABD} \Leftrightarrow \frac{a}{\sin 75 ^\circ } = \frac{m}{\sin 30 ^\circ } \Leftrightarrow a = \frac{m.\sin 75 ^\circ }{\sin 30 ^\circ }[/tex]

Ще намерим [tex]\sin75 ^\circ[/tex] :
[tex]\sin 75 ^\circ = \sin(45 ^\circ + 30 ^\circ ) = \sin 45 ^\circ \cos 30 ^\circ + \sin 30 ^\circ \cos 45 ^\circ = \frac{ \sqrt{2} }{2}. \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2}. \frac{1}{2} = \frac{ \sqrt{2} }{4}( \sqrt{3}+ 1)[/tex]
$$\Rightarrow a = m \frac{ \sqrt{2} }{2}( \sqrt{3 + 1)}$$
За [tex]\triangle BCD[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\angle CDB = \angle ABD = 30 ^\circ[/tex] (като кръстни)
[tex]\frac{DC}{\sin \angle DBC } = \frac{BC}{\sin \angle CDB} \Leftrightarrow \frac{b}{\sin45 ^\circ } = \frac{m}{\sin 30 ^\circ } \Leftrightarrow b = m \frac{\sin 45 ^\circ }{\sin 30 ^\circ }[/tex]
$$\Rightarrow b = m \sqrt{2} $$
[tex]S_{ABCD } = S_{ABD } + S_{BCD } \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{AB.BD}{2}.\sin 30 ^\circ + \frac{DB.DC}{2}.\sin 30 ^\circ \Leftrightarrow \frac{ a^{2 } }{2}. \frac{1}{2} + \frac{ab}{2}. \frac{1}{2} = \frac{a}{4} (a + b)[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{1}{4}. \frac{m \sqrt{2} }{2}( \sqrt{3} + 1).[ \frac{m \sqrt{2} }{2}( \sqrt{3} + 1) + m \sqrt{2}] =......[/tex] (преобразуване)
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{ m^{2 } }{4}(3 + 2 \sqrt{3}) $$

Средно пропорционално означава средно геометрично:
Трябва да докажем,че [tex]a(a-b) = m^{2 }[/tex]

[tex]a(a-b) = \frac{m \sqrt{2} }{2}( \sqrt{3}+ 1)[ \frac{m \sqrt{2} }{2}( \sqrt{3} + 1) - m \sqrt{2}] =[/tex]

[tex]= m^{2 }( \sqrt{3}+ 1)( \frac{( \sqrt{3 + 1} }{2} - 1) =[/tex]

[tex]= m^{2 }( \sqrt{3} + 1)( \frac{ \sqrt{3} + 1 - 2 }{2}) = \frac{ m^{2 } }{2} ( \sqrt{3}+ 1)( \sqrt{3} - 1) =[/tex]

[tex]= \frac{ m^{2 } }{2}.2 =[/tex]

[tex]= m^{2 }[/tex]

Скрит текст: покажи

Проверете,защото сметките са ужасни, може и да има грешка.Идеята е ясна - изразяват се двете основи чрез $m$ и чрез синусите на ъглите.

[ammornil]

Да, аз не съм видял че се търси средно пропорционално. Решил съм го за средно претеглено.

За средно пропорционално, по подсказката която аз дадох, се иска да се докаже, че $\dfrac{x}{m}= \dfrac{m}{x-y} \quad \Leftrightarrow \quad m^{2}= x \cdot{(x-y)}$

Що се отнася до лицето, не го написах, защото мисля че искате само помощ, а не цяло решение. Лицето е (с означенията от моя пост) $$ S_{ABCD}= S_{ABD} +S_{BDC} \\[12pt] S_{ABD}= \dfrac{1}{2}\cdot{AB} \cdot{DC} \cdot{\sin{\angle{ABD}}}= \dfrac{x^{2}}{4} \\[6pt] S_{DBC}= \dfrac{1}{2}\cdot{DB} \cdot{BC} \cdot{\sin{\angle{DBC}}}= \dfrac{\sqrt{2}\cdot{x}\cdot{m}}{4}$$

[ammornil]

Да, аз не съм видял че се търси средно пропорционално. Решил съм го за средно претеглено.

За средно пропорционално, по подсказката която аз дадох, се иска да се докаже, че $\dfrac{x}{m}= \dfrac{m}{x-y} \quad \Leftrightarrow \quad m^{2}= x \cdot{(x-y)}$

Що се отнася до лицето, не го написах, защото мисля че искате само помощ, а не цяло решение. Лицето е (с означенията от моя пост) $$ S_{ABCD}= S_{ABD} +S_{BDC} \\[12pt] S_{ABD}= \dfrac{1}{2}\cdot{AB} \cdot{\red{BD}} \cdot{\sin{\angle{ABD}}}= \dfrac{x^{2}}{4} \\[6pt] S_{DBC}= \dfrac{1}{2}\cdot{DB} \cdot{BC} \cdot{\sin{\angle{DBC}}}= \dfrac{\sqrt{2}\cdot{x}\cdot{m}}{4}$$