геометрична прогресия

[lupo]

Намерете а_1 и q на геометрична прогресия, за която:

S_3 = 7a_1
2a_3 + a_5 = - 24

и

S_6 : S_3 = 9
2a_5 - 3a_4 = 40

И двете са системи, но нещо не ми се получи, следвайки ръководството Благодаря предварително.

[portokal]

Намерете а_1 и q на геометрична прогресия, за която:

S_3 = 7a_1
2a_3 + a_5 = - 24

и

S_6 : S_3 = 9
2a_5 - 3a_4 = 40

И двете са системи, но нещо не ми се получи, следвайки ръководството Благодаря предварително.

първа задача
[tex]S_{3}=7a_{1}[/tex] => [tex]a_{1}\frac{q^3-1}{q-1}=7a_{1}[/tex] => [tex]q^2+q+1=7[/tex] => [tex]q_{1}=2[/tex];[tex]q_{1}=-3[/tex]
[tex]2a_{3}+a_{5}=-24[/tex] => [tex]2a_{1}q^2+a_{1}q^4=-24[/tex] ... смяташ си го с двата случая за -3 и 2

втора задача
[tex]\frac{S_{6}}{S_{3}}=9[/tex] => [tex]\frac{q^6-1}{q^3-1}=9[/tex] ; [tex]q^3=t[/tex] решаваш квадратно у-е със t и после намираш q от там и по аналогичен начин от първа задача

[lupo]

благодаря !
може ли малко помощ и за тази система:

a_3 + a_5 = 5
(a_3)^2 - (a_5)^2 = 15

като аритметична и геометрична прогресия ?

[loving_math]

благодаря !
може ли малко помощ и за тази система:

a_3 + a_5 = 5
(a_3)^2 - (a_5)^2 = 15

като аритметична и геометрична прогресия ?

a3+a5=5
a3^2-a5^2=15

a3+a5=5
(a3-a5)(a3+a5)=15 <=>(a3-a5)5=15 <=>a3-a5=3

a3+a5=5
a3-a5=3

Дотук решението и да геометрична, и за аритметична прогресия е еднакво.

Аритметична:
a1+2d+a1+4d=5
a1+2d-(a1+4d)=3

2a1+6d=5
-2d=3 дорешаваш системата и готово.

Геометрична:
a1q^2+a1q^4=5
a1q^2-a1q^4=3

a1q^2(1+q^2)=5
a1q^2(1-q^2)=3 разделяш почленно двете уравнения при a1≠0, q≠0

(1+q^2)/(1-q^2)=5/3
3+3q^2=5-5q^2
8q^2=2
q^2=1/4

Оттук нататък вече е ясно, как при намерено частно на прогресията да сметнеш първия й член.

[lupo]

Благодаря !