Сумата на първите 4 члена на геометрична прогресия е 30...

[mitak88]

Сумата на първите 4 члена на геометрична прогресия е равна на 30, а сумата на следващите 4 члена е равна на 480.Намерете първия член на прогресията.

[baroveca]

Нека първите 4 числа на геометричната прогресия са [tex]x,xy,xy^2,xy^3[/tex]. Нека следващите 4 числа са[tex]xy^4,yx^5,xy^6,xy^7[/tex].
От условието имаме [tex]x+xy+xy^2+xy^3=30[/tex] и [tex]xy^4+yx^5+xy^6+xy^7=480[/tex]
Образуваме система и изнасяме х пред скоби
[tex]\begin{tabular}{|l}x(1+y+y^2+y^3)=30\\ x(y^4+y^5+y^6+y^7)=480\end{tabular}[/tex]
Съкращаваме, делим почленно и получаваме:
[tex]\frac{1+y+y^2+y^3}{y^4+y^5+y^6+y^7 } =\frac{1}{16 }[/tex]
Умножаваме на кръст и получаваме
[tex]y^7+y^6+y^5+y^4-16y^3-16y^2-16y-16=0[/tex]
Групираме:
[tex](y^7+y^6)+(y^5+y^4)-(16y^3+16y^2)-(16y+16)=1[/tex]

[tex]y^6(y+1)+y^4(y+1)-16y^2(y+1)-16(y+1)=1[/tex]

[tex](y+1)(y^6+y^4-16y^2-16)=0[/tex]

[tex](y+1)(y^2+1)(y^4-16)=0[/tex]

[tex]y=-1; y=\pm 2[/tex]
При y=2 сe получава, че първия член е 2.. толкова ли е отговора?

[loving_math]

Имаш обаче още малко работа, трябва да определиш допустимите стойности на частното на прогресията. След разлагане на полинома стигаш до y≠-1
=> y=-1 отпада като решение, остават другите два корена: 2 и -2
=> Само две прогресии
1. с частно 2 и първи член 2
2. с частно -2 и първи член -6