Задача в писани окръжности

[Диема]

Моля, дайте идея! Изглежда ми лесна, но не съвсем.

Даден е равнобедрен триъгълник АBC, с вписана в него окръжност с радиус 6 см. Построена е допирателна към окръжността, която е успоредна на АB. В отсечения триъг. е вписана друга окръжност с радиус 1 см. Да се намери медианата към основата.

[baroveca]

Нека с r1 отбележим радиусът на вписаната в триъгълник АВС окръжност, а с r2- радиусът на вписаната в триъгълник PQC окръжност, където P и Q са точките, в които допирателната пресича бедрата на триъгълника. Знаем,че в равнобедрения триъгълник височината е и медиана, и ъглополовяща. Нека с точката О отбележим допирната точка на двете вписани окръжности.
Разглеждаме триъгълник PQC. Нека с О1 отбележим центъра на вписаната в него окржъност. О1Т- радиусът на окръжността, който е 1 см. Нека с х отбележим СF-F-точката, в която СО пресича окръжността. Тогава цялата височина в този триъгълник е х+1+1(FO-диаметър)

Разглеждаме триъгълник АВС-ОМ-диаметър на вписаната в целия триъгълник окръжност. Тогава цялата височина в триъгълник АВС е х+2+6+6. Знаем,че двата триъгълника АВС и PQC са подобни, защото имат общ ъгъл.
И тогава[tex]\frac{r_1}{r_2 }=\frac{x+2+6+6}{x+2 }[/tex]=> [tex]\frac{6}{ 1}=\frac{x+14}{x+2 }=>x=0.4[/tex]
СМ=0,4+2+12=14,4 см.

[Диема]

Баровец, много благодаря!
Моите разсъждения стигаха до последните два реда на решението ти.Не се сетих само за отношението на радиусите.Благодаря за изчерпателния отговор!Чак ме е срам,че не се сетих.

[baroveca]

Само да добавя- онова горе е объркано О1Т. Трябва да е О1О. От бързане смених буквата

[Диема]

Няма проблем! Аз разбрах какво имаш предвид!