Задача с вектори.

[shukri_93]

Точките M и N са средите на бедрата AD и BC на трапеца ABCD с основи AB=a и CD=b. Докажете че:
a) MN е успоредна на основите
б) Вектор(пиша го щото не знам как да сложа отгоре стрелка) MN = [(a+b) / 2a].вектор OB.

Моля ви спешно ми е за утре...

[nikko]

Нека [tex]\vec{AB}=\vec{x}[/tex]. Имаме, че [tex]\vec{DC}||\vec{AB}[/tex] и имат еднакво направление, тогава DC е скалaр по AB и имайки предвид дължините на бедрата е изпълнено: [tex]\vec{DC}=\frac{b}{a}\vec{x}[/tex]
Изразяваме [tex]\vec{MN}[/tex] по два начина
[tex]\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}[/tex]
[tex]\vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}[/tex] събираме двете равенства и взимаме в предвид, че MA и MD са равни по дължина (М- среда), успоредни (лежат на една права) и различни по посока, т.е. [tex]\vec{MD}=-\vec{MA}[/tex] или
[tex]\vec{MA}+\vec{MD}=\vec{0}[/tex], същото важи за векторите BN и CN. Имаме
[tex]2\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}+\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}=\underbrace{(\vec{MA}+\vec{MD})}_{=\vec{0}}+\vec{x}+\frac{b}{a}\vec{x}+\underbrace{(\vec{BN}+\vec{NC})}_{=\vec{0}}=(\frac{a+b}{a})\vec{x}[/tex] и след като разделим на 2 получаваме [tex]\vec{MN}=(\frac{a+b}{2a})\vec{x}=(\frac{a+b}{2a})\vec{AB}[/tex], от където следва:
а) MN и AB са успоредни;
следва и б) също, като се има предвид, че не става въпрос за вектор OB (най-малкото нямаш точка О), а за вектор AB