Показателни уравнения

[Aiezsedai]

Не мога да реша следните задачи:
[tex](\sqrt{2+\sqrt{3} } )^x + (\sqrt{2 - \sqrt{3} } )^x = 4[/tex]
и
[tex](4+\sqrt{15} )^x + (4 - \sqrt{15} )^x = 62[/tex]

Предполагам, че принципът е един и същ, но не мога да се сетя какъв е. Може ли малко помощ?

[naitsirk]

Двете основи са реципрочни (произведението им е единица) =>
ако положиш едната основа [tex]t[/tex] другата ще е [tex]\frac{1}{t }[/tex]

[martin123456]

[tex](\sqrt{2+\sqrt{3} } )^x + (\sqrt{2 - \sqrt{3} } )^x = 4[/tex]
нека [tex]t_1=(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x[/tex], [tex]t_2=(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x[/tex]
[tex]t_1t_2=1[/tex]
значи те са корени на уравнението [tex]t^2-4t+1=0[/tex].[tex]D=12[/tex], [tex]t_{1,2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}=2 \pm \sqrt{3}[/tex].
1) [tex](\sqrt{2+\sqrt{3} } )^x =2+\sqrt{3}[/tex] и [tex](\sqrt{2-\sqrt{3} } )^x =2-\sqrt{3}[/tex]= > [tex]x=2[/tex]
2) [tex](\sqrt{2+\sqrt{3} } )^x =2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}[/tex] и [tex](\sqrt{2-\sqrt{3} } )^x =2+\sqrt{3}[/tex] =>[tex]x+1=0[/tex]

[dim]

[tex](\sqrt{2+\sqrt{3} } )^x + (\sqrt{2 - \sqrt{3} } )^x = 4[/tex] (*)

[tex](\sqrt{2+\sqrt{3} } )^x ).(\sqrt{2-\sqrt{3} } )^x =1[/tex]=> [tex](\sqrt{2-\sqrt{3} } )^x=\frac{1}{(\sqrt{2+\sqrt{3} } )^x}[/tex]

Полагаме [tex]\sqrt{2-\sqrt{3} } ^x=a[/tex], [tex]a\ne 0[/tex] тогава (*) <=> [tex]a+\frac{1}{a}=4[/tex] , [tex]a^2-4a+1=0[/tex], [tex]a_{1,2}=2\pm \sqrt{3}[/tex], нататък е лесно. Пробвай да приложиш същата идея и във втората задача.

[dim]

Ха Мартин ме изпревари. Трябваше на се да се сетя и да реша вторият пример поне да няма дублиране

[dim]

Ако ви се решават такива неща ето един леко утежнен вариант: [tex](\sqrt{2+\sqrt{2} } )^x+(\sqrt{2-\sqrt{2} } )^x=2^x[/tex]

[ivelinkaaa]

трябва само двете страни да се разделят на 2^x и почти става като по горната

[dim]

трябва само двете страни да се разделят на 2^x и почти става като по горната

Май не е толкова просто колкото си мислиш. Пробвай, покажи че става така, защото ми се струва съмнително например.

[ivelinkaaa]

получават се 2 показателни функции с основи <1 и с малко разсъждения се достига до извода че x=2 ако искаш се пробвай на още по... [tex]\sqrt{\sqrt{x^2+8x+9} +\sqrt{x^2+8x+7} } ^x+\sqrt{\sqrt{x^2+8x+9} -\sqrt{x^2+8x+7} } ^x=2 na stepen (1+x/4)[/tex]

[ganka simeonova]

Ако ви се решават такива неща ето един леко утежнен вариант: [tex](\sqrt{2+\sqrt{2} } )^x+(\sqrt{2-\sqrt{2} } )^x=2^x[/tex]

Като рзаделим на [tex]2^x[/tex], получаваме [tex](\sqrt{\frac{2+\sqrt{2} }{4 } } )^x+(\sqrt{\frac{2-\sqrt{2} }{4 } } )^x=1[/tex]
Oсновите на двете функции са по- малки от едно=>и двете са анмаляващи=> лявата страна е намаляваща функция.
Единствено решение при х=2.

[dim]

Да така става с тая разлика, че [tex]x=2[/tex], а не [tex]x=1[/tex] но не мога да се съглася с първото мнение на ivelinkaaa, че става като горните примери, защото това полагане не върви - основите не са реципрочни.

[ganka simeonova]

Да, х=2 разбира се, не е 1. Поправих се.

[innamorata]

Имам въпросче...
Това как се получава:
[tex]2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}[/tex]

Някакво свойство ли е? Не ми е ясно

[ganka simeonova]

Имам въпросче...
Това как се получава:
[tex]2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}[/tex]

Някакво свойство ли е? Не ми е ясно

[tex](2-\sqrt{3} )(2+\sqrt{3} )=4-3=1[/tex]

[innamorata]

Много благодаря сега разбрах