Тригонометрични фукции на сбор и разлика на ъгли

[n_ivajlova]

Здравейте, запънаха ме няколко задачици за доказжане...моля да ми помогнете с разписването

Докажете тъждествата:

1 зад

[tex]cos(\alpha +\beta )cos(\alpha -\beta ) = cos^2\alpha - sin^2\beta[/tex]

2 зад

[tex]sin(\alpha +\beta )sin(\alpha -\beta ) = sin^2\alpha - sin^2\beta[/tex]

3 зад

[tex](tg\alpha - tg\beta )cotg(\alpha -\beta ) = 1 + tg\alpha tg\beta[/tex]

4 зад

[tex]\frac{(1+cos\alpha )(1+cos2\alpha )}{sin2\alpha cos\alpha }= cotg\frac{\alpha }{2}[/tex]

5 зад

[tex]sin4\alpha = 4cos^3\alpha sin\alpha - 4cos\alpha sin^3\alpha[/tex]

Благодаря предварително...(:

[martin123456]

1
за лявата страна използваме формулата за произведение на косинуси и тя става
[tex]\frac{1}{2}(\cos(a+b-a+b)+\cos(a+b+a-b))=\frac{1}{2}(\cos{2b}+\cos{2a})=\frac{1}{2}(2\cos^2{a}-1+2\cos^2{b}-1)=\cos^2{a}+\cos^2{b}-1=\cos^2{a}-\sin^2{b}[/tex]

[martin123456]

2
използваме формулата за произведение на синуси, лявата страна става
[tex]\frac{1}{2}(\cos(2b)-\cos(2a))=\frac{1}{2}(1-2\sin^2{b}-1+2\sin^2{a})[/tex] = дясната

[martin123456]

3

[tex](tg\alpha - tg\beta )cotg(\alpha -\beta ) = 1 + tg\alpha tg\beta[/tex]
използваме формулата за тангенс от разлика на 2 ъгъла: [tex]tg(a-b)=\frac{tga-tgb}{1+tgatgb}[/tex]. заместваме в тъждеството в условието и остава да док, че
[tex]tg(a-b)(1+tgatgb)cotg(a-b)=1+tgatgb[/tex], [tex]tg(a-b)cotg(a-b)=1[/tex]=>ok

[martin123456]

[tex]\frac{(1+cos\alpha )(1+cos2\alpha )}{sin2\alpha cos\alpha }= cotg\frac{\alpha }{2}[/tex]
[tex]1+\cos{2a}=2cos^2{a}[/tex]. заместваме в лявата страна и става [tex]\frac{(1+\cos{a})2\cos^2{a}}{2\cos{a}\sin{a}\cos{a}}=\frac{1+\cos{a}}{\sin{a}}=\frac{2\sin^2{\frac{a}{2}}}{2\sin{\frac{a}{2}\cos{\frac{a}{2}}[/tex]

[martin123456]

[tex]sin4\alpha = 4cos^3\alpha sin\alpha - 4cos\alpha sin^3\alpha[/tex]
[tex]\sin{4a}=\sin{(a+3a)}=\sin{a}\cos{3a}+\cos{a}\sin{3a}[/tex]
използваме формулите [tex]\sin{3a}=3\sin{a}-4\sin^3{a}[/tex] и [tex]\cos{3a}=4\cos^3{a}-3\cos{a}[/tex]. заместваме и трябва да стане