Логаритмични уравнения и неравенства

[Manchester_7]

Другите ги направих, ала тея не излизат... а с натуралния логаритъм, не ми тръгва изобщо задачата...Надявам се някой да се заеме, благодаря предварително

Untitled-1.jpg (160.84 KiB) Прегледано 234 пъти

[Martin Nikovski]

б) [tex]\sqrt{1+lg x}+\sqrt{2lg x-2}=4,\ \cyr{DM}_x:\ x>0[/tex]
Полагаме [tex]lg x=y[/tex]
[tex]\sqrt{1+y}+\sqrt{2y-2}=4\ |^2[/tex]
[tex]1+y+2\sqrt{\left(1+y\right)\left(2y-2\right)}+2y-2=16[/tex]
[tex]2\sqrt{2y-2+2y^2-2y}=17-3y[/tex]
[tex]2\sqrt{2y^2-2}=17-3y\ |^2\ \cyr{DM}_y:\ 17-3y\ge 0\ \Rightarrow\ y\le \frac{17}{3}[/tex]
[tex]4\left(2y^2-2\right)=289-102y+9y^2[/tex]
[tex]8y^2-8=289-102y+9y^2[/tex]
[tex]y^2-102y+297=0[/tex]
[tex]D=51^2-297=2601-297=2304[/tex]
[tex]y_1=51+\sqrt{2304}=51+48=99\notin \cyr{DM}_y[/tex]
[tex]y_2=51-\sqrt{2304}=51-48=3\in \cyr{DM}_y[/tex]
[tex]lgx=y=3\ \Rightarrow\ x=10^3=1000[/tex]

[Manchester_7]

б) [tex]\sqrt{1+lg x}+\sqrt{2lg x-2}=4,\ \cyr{DM}_x:\ x>0[/tex]
Полагаме [tex]lg x=y[/tex]
[tex]\sqrt{1+y}+\sqrt{2y-2}=4\ |^2[/tex]
[tex]1+y+2\sqrt{\left(1+y\right)\left(2y-2\right)}+2y-2=16[/tex]
[tex]2\sqrt{2y-2+2y^2-2y}=17-3y[/tex]
[tex]2\sqrt{2y^2-2}=17-3y\ |^2\ \cyr{DM}_y:\ 17-3y\ge 0\ \Rightarrow\ y\le \frac{17}{3}[/tex]
[tex]4\left(2y^2-2\right)=289-102y+9y^2[/tex]
[tex]8y^2-8=289-102y+9y^2[/tex]
[tex]y^2-102y+297=0[/tex]
[tex]D=51^2-297=2601-297=2304[/tex]
[tex]y_1=51+\sqrt{2304}=51+48=99\notin \cyr{DM}_y[/tex]
[tex]y_2=51-\sqrt{2304}=51-48=3\in \cyr{DM}_y[/tex]
[tex]lgx=y=3\ \Rightarrow\ x=10^3=1000[/tex]

Благодаря ти!

[Martin Nikovski]

г) [tex]8+\frac{23}{ln x-3}=\frac{5ln x+8}{ln x-3},\ \cyr{DM}_x:\ x>0[/tex] и [tex]ln x-3\ne 0\ \Rightarrow\ lnx\ne 3\ \Rightarrow\ x\ne e^3[/tex]
Полагаме [tex]ln x=y,\ \cyr{DM}_y:\ y-3\ne 0\ \Rightarrow\ y\ne 3[/tex]
[tex]8+\frac{23}{y-3}=\frac{5y+8}{y-3}\ /.\left(y-3\right)[/tex]
[tex]8y-24+23=5y+8[/tex]
[tex]3y=9[/tex]
[tex]y=3\notin \cyr{DM}_y\ \Rightarrow[/tex] НЯМА РЕШЕНИЕ!