Тъждества

[Deathmanlp]

Трябва ми малко помощ, ще ме изпитват за 6 на тези примери.
Докажете, че за всеки триъгълник са във сила тъждествата:

[tex](a^2 - b^2):c^2 = sin(\alpha - \beta ):sin(\alpha+\beta )[/tex]

[tex]r= p*tg(\alpha:2)*tg(\beta:2)*tg(\gamma:2)[/tex]

[tex]p=4R*cos(\alpha:2)*cos(\beta:2)*cos(\gamma:2)[/tex]

[ins-]

За първото - замести [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] с [tex]2Rsin\alpha[/tex], [tex]2Rsin\beta[/tex] и [tex]2Rsin\gamma[/tex]

За второто - Построй ъглополовящите на триъгълника и спусни от пресечната им точка перпендикуляри към страните - те се явяват радиуси т.е. равни са на [tex]r[/tex]. По този начин намираш, че [tex]tg(\alpha/2)[/tex]=r/(p-a), аналогично е за останалите 2 тангенса. Имаш и една друга формула [tex]r=S/p[/tex] (в сила е за всеки триъгълник). Заместваш r с S/p
и после [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] (Херонова формула). Напиши докъде стигаш и ако не ти е ясно нещо - питай.

[Deathmanlp]

Първото го изкарах сега почвам второто, благодаря

[ins-]

За третото има си формула за cosA/2 чрез страните. Ако не я знаеш или нямаш право да я ползваш - най-тъпия начин, за който се сещам е да ползваш косинусовата теорема и формулата за косинус на половинката на ъгъл чрез косинуса на целия ъгъл (формулата е с +/- и трябва да се обосновеш защо избираш именно този знак) и да си я изведеш.
После R=abc/4S и Хероновата формула и ще излезе.
Прекалено общо се изразявам, но предполагам, че имаш известни познания по тригонометрия.

[Deathmanlp]

[tex]tg(\alpha/2)[/tex]=r/(p-a)

Това как се получава ? Aз от триъгълник ADE получавам [tex]tg(\alpha/2)[/tex] = r/AE и от ADG [tex]tg(\alpha/2)[/tex] = r/AG

[strangerforever]

[tex]tg(\alpha/2)[/tex] = r/AE

AE = p - a?

[ins-]

AE=AG=p-a. p-полупериметър. Ако не греша е така, извеждаше се в 8-ми клас навремето.