Задачи с правоъгълен триъгълник

[milan4eto]

1.В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл L е построена ъглополовяща на правия ъгъл. Намерете частното от лицата на получените два триъгълника.

2.Намерете ъглите на правоъгълен триъгълник, ако отношението между радиусите на вписаната в него и описаната около него окръжност е √2-1

[matdia]

1 задача.
Нека ъглополовящата дели хипотенузата на части m и n
S1/S2=(m/n)^2
от свойството на ъглополовящата m/n=a/b=tgL
S1/S2=(tgL)^2


2. r=(a+b-c)/2 R=c/2

r/R=a/c+b/c-1=√2-1
sinα+cosα=√2
√2sin(∏/4+α)=√2
sin(∏/4+α)=1
∏/4+α=∏/2
α=β=45°

[Xixibg]

Това на решението на 1 задача малко не е вярно ,защото ако L е петата на ъглополовящата то \Delta ALC и \Delta BLC имат една и съща височина, откъдето следва, че отношението на лицата им ще е S1/S2=tgα (при делението височината се съкращава)