Математическа индукция

[hari]

Задачата е следната, тя е и решена, но не мога да разбера - от определено място нататък
Да се док, че за всяко естествено число [tex]n>4[/tex] е изпълнено неравенството
[tex]2^{n}>n^{2}[/tex]
Достига се до неравенството
[tex]k^{2}-2k-1\ge 0[/tex]
Корените са [tex]1-\sqrt{2}[/tex] и [tex]1+\sqrt{2}[/tex]. И в учебника пише - Както знаем, при [tex]k=1+\sqrt{2}[/tex] е изпълнено [tex]k^{2}-2k-1\ge 0[/tex]
Както знаем, - ама аз не знам и се блъскам от снощи, Моля, ако някой може да ми разясни.

[L.e.o]

Стъпка 1. Тривиално доказателство на доказваното свойство за n = 1
В случея 1вият член е n=5. 32>25 . Свойството е вярно.
Стъпка 2. Индукционна хипотеза (ИХ): Допускане, че доказуемото свойство е валидно за n = k и доказателство на свойството за n = k + 1.
2^(n+1) ?>? (n+1)^2
2^n ?>? (n^2 + 2n + 1)/2

Правим Хипотеза 2: n^2 > (n^2 + 2n + 1)/2 за n>4
Проверка за n=5: 25 > 18. Свойството е вярно.
Проверка за n+1: (n+1)^2 ?>? [(n+1)^2+2(n+1) +1]/2 => n^2 > 2, а това е изпълнено за всяко n>4. Toест Хипотеза 2 вярна.

Тоест:
2^n > n^2 > (n^2 + 2n + 1)/2 => 2^n > (n^2 + 2n + 1)/2. => Основното Свойсво е вярно за n+1 => То е вярно за всяко n>4.

[strangerforever]

Задачата е следната, тя е и решена, но не мога да разбера - от определено място нататък
Да се док, че за всяко естествено число [tex]n>4[/tex] е изпълнено неравенството
[tex]2^{n}>n^{2}[/tex]
Достига се до неравенството
[tex]k^{2}-2k-1\ge 0[/tex]
Корените са [tex]1-\sqrt{2}[/tex] и [tex]1+\sqrt{2}[/tex]. И в учебника пише - Както знаем, при [tex]k=1+\sqrt{2}[/tex] е изпълнено [tex]k^{2}-2k-1\ge 0[/tex]
Както знаем, - ама аз не знам и се блъскам от снощи, Моля, ако някой може да ми разясни.

За [tex]n = 5[/tex], неравенството е изпълнено.

Допускаме, че е изпълнено за [tex]n = k \in Z (>5)[/tex], т.е. [tex]2^k > k^2[/tex]
Ще докажем, че е вярно за [tex](k+1)[/tex].

По допускане [tex]2^k > k^2 \Leftrightarrow 2^{k+1} >2.k^2[/tex]

Ще докажем, че за всяко k > 4 е изпълено: [tex]2k^2 \ge (k+1)^2 \Leftrightarrow k^2 - 2k - 1 \ge 0 \Leftrightarrow k \in (-\infty; 1 -\sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2};\infty)[/tex]. Неравенството е изпълнено за всяко k > 4.

Вече знаем, че [tex]2k^2 \ge (k+1)^2[/tex], a също и [tex]2^{k+1} >2.k^2[/tex]

Т.е. [tex]2^{k+1} >2.k^2 \ge (k+1)^2 \Rightarrow 2^{k+1} > (k+1)^2[/tex], с което доказахме, че е изпълено при [tex](k+1)[/tex] при хипотезата, че е изпълнено за произволно [tex]k[/tex], с което твърдението е доказано.

[hari]

Ще докажем, че за всяко k > 4 е изпълено: [tex]2k^2 \ge (k+1)^2[/tex]
Тук не ми е ясно този израз от къде идва. нещо тези задачи не ми допадат, не мога да ги проумея и съм отчаян.

[L.e.o]

Ще докажем, че за всяко k > 4 е изпълено: [tex]2k^2 \ge (k+1)^2[/tex]
Тук не ми е ясно този израз от къде идва. нещо тези задачи не ми допадат, не мога да ги проумея и съм отчаян.

Идва като заместиш n с к+1.